گویا یا گنگ؟؟؟

[M_Sharifi]

دو سوال جالب:
1- عدد
[center:2edfb3ed93]....0/123456789101112

که از نوشتن اعداد طبیعی متوالی بعد از ممیز اعشاری به وجود آمده است، گویاست یا گنگ؟
2- عدد

....0/1248163264128[/center:2edfb3ed93]

که از نوشتن توان های متوالی 2 بعد از ممیز اعشاری به وجود آمده است، گویاست یا گنگ؟
برای پاسخ های خود، دلیل بیاورید.​

​

 

[bihamta]

جواب سوالمو فهمیدم

 

[zhrs]

تو سوال اول گفتید که اعداد طبیعی متوالی اما 0 هم داره!

منظورتون تا 9 اه؟

منظورش نه و ده و یازدو و دوازده.... ایناست

 

[Aref]

با سلام به استاد شریفی
جفتشون گنگن
چون تا بی نهایت ادامه دارن تناوبم ندارن

 

[M_Sharifi]

با سلام به استاد شریفی
جفتشون گنگن
چون تا بی نهایت ادامه دارن تناوبم ندارن

سلام. از کجا معلوم که تناوب ندارن؟ باید با استدلال ثابت کنی که دوره تناوب ندارن.

 

[mohammad_72]

فرض كنيد عدد اول دوره تناوب t داشته باشه. از آنجايي كه عددي وجود دارد كه از t تا 1 تشكيل شده باشه و عددي هست كه t تا 2 داشته باشد به تناقض مرسيم.

 

[Aref]

با سلام به استاد شریفی
از برهان خلف استفاده می کنیم
اگر عدد ....1234. را N در نظر بگیریم وفرض کنیم دوره تناوب داشته باشدو دوره تناوب آن n رقم داشته باشد میدانیم عددی د رقمی وجود دارد که بصورت زیر است و در عدد اعشاری بالا دو بار دیده میشود یکبار در اول و بار دیگر بعد از در تناوب های بعدی: 1234...n (عددر ا برعکس فرض کنید) واگر این عدد در یک تناوب قرار گیرد آنگاه عدد قبلیش هم در یک تناوب قرار میگرد پس باید رقم آخر این دو عدد برابر باشد که ممکن نیست

 

[asadh]

جفتشون گنگ هستن.
اولی: انتها نداشته و ترتیب خاص هم ندارد. چون هیچ عدد n رقمی متمایز با هم برابر نیست.
دومی:" " " " " چون هیچ کدام از اعداد مساوی نبوده و ترتیب ندارند.

 

[M_Sharifi]

سلام به Aref. جوابت درسته، ولی توضیحت خوب نیست.
جواب asadh نیز اشتباهه.

 

[mohammad_72]

فرض كنين دوره ي تناوبش n باشه.
مي دونيم تعداد ارقام 2[SUP]k[/SUP] برابر 1+[k*log 2] است اگر k كوچكترين عددي باشه كه k*log 2 > n باشه داريم :
k-1)*log 2 < n) پس k+1)*log 2 < n + 2log 2 = n + log 4 < n+1) بنابراين 2[SUP]k[/SUP] و 2[SUP]k+1[/SUP] تعداد ارقامشان
برابر n است ولي اگه دنباله متناوب باشه بايد اين دو عدد برابر باشن كه نيستن.

 

[M_Sharifi]

فرض كنين دوره ي تناوبش n باشه.
مي دونيم تعداد ارقام 2[SUP]k[/SUP] برابر 1+[k*log 2] است اگر k كوچكترين عددي باشه كه k*log 2 > n باشه داريم :
k-1)*log 2 < n) پس k+1)*log 2 < n + 2log 2 = n + log 4 < n+1) بنابراين 2[SUP]k[/SUP] و 2[SUP]k+1[/SUP] تعداد ارقامشان
برابر n است ولي اگه دنباله متناوب باشه بايد اين دو عدد برابر باشن كه نيستن.

راه حل خوبی بود. فقط این که ممکنه دوره ی تناوب بعد از توان 2 ای که n رقم داره، ظاهر بشه که اون موقع باید k رو کوچک ترین عددی انتخاب کرد که k*log 2 از یکی از مضارب n یبشتر باشه و 2[SUP]k[/SUP] بعد از شروع تناوب ظاهر بشه.
به عنوان یه راه حل دیگه، میشه ثابت کرد که برای هر k، توانی از 2 وجود داره که نمایشش شامل دست کم k صفر متوالیه.

 

[kiki75]

پاسخ : گویا یا گنگ؟؟؟

اثبات اینکه
...0/1234567891011121314
گنگ است:

خوب فرض میکنیم این عدد گویا ست ،پس یک دوره گردش دارد که از تعدادی رقم تشکیل شده است و طول ان برابر n است حال با جلو رفتن در بسط ده دهی به جایی میرسیم که 10nتا رقم a
a=(1,2,3,..9
کنار هم قرار گرفته اند به این ترتیب در این تکه دوره گردش تکرار نمیشود و این یعنی عدد دوره گردش ندارد که با انگاره نخستین سازگار نیست یعنی عدد گویانیست
پس عدد گنگ است.

 

[kiki75]

پاسخ : گویا یا گنگ؟؟؟

یک سوال زیبا:
عدد زیر گنگ است یا گویا به صورت اثبات بالا این را هم اثبات کنید
0.10100100010000...

 

[Aref]

پاسخ : گویا یا گنگ؟؟؟

این که خیلی تابلوه که گنگه.

 

[kiki75]

پاسخ : گویا یا گنگ؟؟؟

خب اثبات گنگ بودنش رو شما انجام بدید منم میدونم گنگه!

 

[seyed iman]

پاسخ : گویا یا گنگ؟؟؟

اولین عدد گنگ رو جوزف لیوویل کشف کرد.
Transcendental number - Wikipedia, the free encyclopedia
و بعدن اینا معروف شدن به اعداد لیوویل.اینم الان لیوویله .0.10100100010000...
[ویرایش:گنگ نه .غیر جبری.(Transcendental).]

 

[Aref]

پاسخ : گویا یا گنگ؟؟؟

اولین عدد گنگ رو جوزف لیوویل کشف کرد.
Transcendental number - Wikipedia, the free encyclopedia
و بعدن اینا معروف شدن به اعداد لیوویل.اینم الان لیوویله .0.10100100010000...

غلطه. اولین عدد گنگ رو فیثاغورسیان کشف کردند.
برای اثبات سوال هم برهان خلف بزنید.

 

[seyed iman]

پاسخ : گویا یا گنگ؟؟؟

غلطه. اولین عدد گنگ رو فیثاغورسیان کشف کردند.
برای اثبات سوال هم برهان خلف بزنید.

تو همون لینک برید نوشته.
[ویرایش]: اون غیر جبریه.در مورد گنگ ها نیست.
Liouville biography
اینم دو تا کتاب:
Karl Fink A Brief History Of Mathematics (9781145339651,1145339654) Nabu Press
Struik D. A concise history of mathematics [Vol.1] Dover

 

[Aref]

پاسخ : گویا یا گنگ؟؟؟

اولین عدد گنگ کشف شده عددطلاییه و این عدد رو فیثاغورسیان کشف کردند.
شما مثل این که اصلا عدد گنگ رو نمی دونی چی هست....!!!!
اون مقاله ای که شما آدرس بهش دادی راجع به اعداد جبریه.

 

[seyed iman]

پاسخ : گویا یا گنگ؟؟؟

Transcendental number - Wikipedia, the free encyclopedia
Hبله بله درست میگید.اون عدد غیر جبریه.ولی هر عدد غیر جبری گنگ هم هست.