آزمون پایانی جبر دوره ی تابستان 89/5/17 سوال 2

M_Sharifi · 1389/5/17

سوال 2.

$a,b,c$

اعدادی حقیقی و مثبت اند. نامساوی زیر را ثابت کنید

[center:1e3b726939]

$\frac1{a^2}+\frac1{b^2}+\frac1{c^2}+\frac1{(a+b+c)^2}\geq\frac7{25}\left(\frac1a+\frac1b+\frac1c+\frac1{a+b+c}\right)^2 \right )$

[/center:1e3b726939]
(20 نمره)

mreza1370 · 1389/5/17

نامساوی داده شده با نامساوی زیر هم ارز است.
[center:81bb7f543c]

[/center:81bb7f543c]حال توجه کنید که با استفاده نامساوی حسابی و هندسی داریم
[center:81bb7f543c]

طبق نامساوی کوشی شوارتز داریم

و همچنین داریم

با ضرب نامساوی اول در یک و نامساوی دوم در 5/3 و نامساوی سوم در 7 و جمع آنها به حکم مساله می رسیم.

[/center:81bb7f543c]

mousavi · 1389/5/17

با اتحاد لاگرانژ

$\sum \frac{1}{a^2}+\frac{1}{(a+b+c)^2}\geq (\sum \frac{1}{a}+\frac{1}{a+b+c})^2 +\sum (\frac{1}{a}-\frac{1}{b})^2 +\sum (\frac{1}{a}-\frac{1}{a+b+c})^2 \geq \frac{7}{25}(\sum \frac{1}{a}+\frac{1}{a+b+c})^2$

$9(\sum \frac{1}{a^2}+\frac{1}{a+b+c})\geq 7(\sum \frac{1}{ab})+7\frac{1}{a+b+c}(\sum\frac{1}{a})$

$4\sum (\frac{1}{a}-\frac{1}{b})^2 +\sum \frac{1}{a^2}+\sum \frac{1}{ab}+9\frac{1}{(a+b+c)^2}\geq 7\frac{1}{a+b+c}\sum \frac{1}{a}$

$\sum\frac{b+c}{a^2}+\sum \frac{a+c}{a} +\frac{9}{a+b+c}\geq \sum \frac{1}{a}$

نامسواوی اخیر هم براحتی بدست میاید.

mousavi · 1389/5/18

فقط در اولین خط ضرب در 4 فراموش شد و کسر دومین خط 28/25

mrbayat · 1389/7/21

ابتدا داریم:

$S=\sum \frac{1}{a^2}+\frac{1}{(\sum a)^2}=$

$(\underset{9}{\underbrace{\frac{1}{9a^2}+\cdots +\frac{1}{9a^2}}}+\underset{9}{\underbrace{\frac{1}{9b^2}+\cdots +\frac{1}{9b^2}}}+\underset{9}{\underbrace{\frac{1}{9c^2}+\cdots +\frac{1}{9c^2}}}+\frac{1}{(\sum a)^2})$

حالا طبق کوشی شوارتز:

$\Rightarrow S(\underset{28}{\underbrace{1+\cdots +1}})\geq (3\sum \frac{1}{a}+\frac{1}{\sum a})^2\Rightarrow S\geq \frac{(3\sum \frac{1}{a}+\frac{1}{\sum a})^2}{28}$

حالا ثابت می کنیم:

$\frac{(3\sum \frac{1}{a}+\frac{1}{\sum a})^2}{28}\geq \frac{7}{25}(\sum \frac{1}{a}+\frac{1}{\sum a})^2$

با جذر گرفتن و ساده سازی این نامساوی به نامساوی

$(\sum \frac{1}{a})(\sum a)\geq 9$

می رسیم که طبق کوشی شوارتز درست است.

آزمون پایانی جبر دوره ی تابستان 89/5/17 سوال 2

M_Sharifi

راهبر ریاضی

mreza1370

New Member

mousavi

New Member

mousavi

New Member

mrbayat

New Member