آموزش مباحث مختلف ریاضی ( فقط در همین تاپیک)

[Ali Akbar Kabiri]

آموزش مشتق گیری ضمنی

مقدمه

وقتی معادله‌ای بر حسب y و y ، x را به عنوان تابعی مشتقپذیر از x تعریف کند،
حتی در مواردی که نتوان y را از معادله بدست آورد، اغلب می‌تو‌ان با استفاده از
قواعد مشتقگیری dy/dx را محاسبه کرد. در این مقاله ، نحوه این عمل را نشان می‌دهیم
و به اختصار به ایده نهفته در پس این روش اشاره می‌کنیم، سپس از این روش استفاده
می‌کنیم و نشان می‌دهیم که قاعده توان علاوه بر نماهای صحیح برای نماهای کسری هم
برقرار است. معادله x = y2 رادر نظر بگیرید همانطور که مشاهده می‌شود معادله مذکور
دو تابع مشتقپذیر از x را تعریف می‌کند، یکی y = √x دیگری y = -√x. برای محاسبه
dy/dx بطور ساده از دو طرف x = y2 نسبت به x مشتق می‌گیریم و y را به عنوان یک تابع
، هر چند نامشخص ، مشتقپذیر از x تلقی می‌کنیم. با انجام این عمل داریم:
2ydy/dx
= 1 و سپس dy/dx = 1/2y





تابعیت
ضمنی


بیشتر معادلات ، معادلاتی دارند که y را بطور صریح بر حسب x بیان می‌کند. اما
غالبا به معادلاتی بر می‌‌‌‌‌‌خوریم که y را بطور صریح بر حسب x به دست نمی‌دهند.
در عین حال ، هر یک از این معادلات رابطه‌‌ای بین y و x تعریف می‌کنند. وقتی عدد
معینی از دامنه مناسبی به جای x قرار گیرد، معادله حاصل یک یا چند مقدار برای y
بدست می‌دهد. می‌توان جفتهای y و x حاصل را در صفحه مشخص و نمودار معادله را رسم
کرد. نمودار معادله دلخواهی چون f(x,y) = 0 برحسب x و y ممکن است نمودار تابعی
مانند y = f(x نباشد، زیرا شاید برخی از خطوط قائم آن را بیش از یک بار قطع کنند.
با وجود این بخشهای مختلفی از خم f(x,y) = 0 می‌توانند نمودار تابعی از x
باشند.

نمودار x2+y2-1 = 0 دایره‌‌‌ x2+y2 = 1 است کل این دایره نمودار هیچ تابعی از x
نیست به ازای هر x واقع در بازه (1و1-) ، دو مقدار y بدست می‌آیند:

y = √1-x2 و y = - √1-x2


با وجود این نیم دایره‌های بالایی و پایینی نمودار توابع f(x) = √1-x2 و
g(x) = √1-x2 هستند. هرگاه x بین 1 و -1 باشد، جفتهای (x,√1-x2) و (x,-√1-2) در
معادله x2 + y2 = 1 صدق می‌کنند. همانطور که مشاهده می‌شود توابع g و f به ازای x
بین 1 و -1 مشتق پذیر نیز هستند،

چون نمودارهای آنها در x=±1 مماس قائم دارند، این توابع در این نقاط مشتق پذیر
نیستند.






یک سوال راهگشا برای درک مشتقگیری
ضمنی


چه موقع می‌توان انتظار داشت که توابع مختلف (y=f(x که با رابطه f(x,y)=0 تعریف
می‌شوند

مشتقپذیر باشند؟

* پاسخ: هنگامی که نمودار رابطه به اندازه کافی هموار باشد تا در هر نقطه آن خطی مماس
وجود داشته باشد، از جمله این موارد وقتی است که فرمول F ترکیبی جبری از توانهای y,x باشد.
برای محاسبه مشتق توابعی که بطور ضمنی تعریف می‌شوند، Y را به عنوان تابعی هر چند ناشناخته ،
مشتق پذیر از x در نظر می‌گیریم و از دو طرف معادله نسبت به x مشتق می‌گیریم.
این روش را مشتق گیری ضمنی می‌نامند.





کاربردها

* مشتقگیری ضمنی ، مشتق از مراتب بالا را هم بدست می‌دهد.


* کاربرد برای پیدا کردن خط مماس: همانگونه که قبلا دیدیم مشتقگیری ضمنی معمولا dy/dx را بر


حسب هم x و هم y بیان می‌کند. در این گونه موارد برای محاسبه شیب خم در نقطه معلومی


چون (x1,y1) ، باید در عبارت نهایی dy/dx مقادیرx1وy1را قرار دهیم.


* کاربرد در پیدا کردن خطهای قائم بر خم: در قانونی که چگونگی تغییر جهت نوری را که


از سطح یک عدسی می‌گذرد توصیف می‌کند، زاویه‌های مهم زوایایی هستند که نور در نقطه ورود با


خط عمود بر سطح می‌‌سازد. این خط را خط قائم در نقط ورود می‌نامند. در حساب دیفرانسیل و انتگرال


، بنا به تعریف خط قائم بر یک خم مشتقپذیر در نقطه‌ای چون P صرفنظر از اینکه خم ،


نمایش سطح چه چیزی باشد، خط عمود بر مماس بر خم در P است.


* با استفاده از مشتقگیری ضمنی می‌توانیم قاعده توان را تعمیم دهیم تا نماهای کسری را


هم شامل شود.​

منبع : دانشنامه رشد

 

[Ali Akbar Kabiri]

دترمینان

دترمینان

به هر ماتریس مربع از مرتبه

مانند

می‌توان عددی را نسبت داد.این عدد را با نماد

یا

نمایش می‌دهیم و آن را دترمینان

می‌خوانیم.
اگر :

آنگاه:

[HR][/HR]
​

خواص دترمینان

اگر ستون‌های ماتریس

را با

نشان دهیم آنگاه

و خواهیم داشت :

[HR][/HR]
​

تعریف

اگر

یک ماتریس مربع از مرتبه

باشد آنگاه ماتریس حاصل از حذف سطر

ام و ستون

ام که یک ماتریس از مرتبه

در

است را با نماد

نمایش می‌دهیم.در اینصورت:

[HR][/HR]
​

قضیه1

اگر

دو ماتریس باشند آنگاه:
​

1. 
   
   

   
   ​
2. 
   
   

   
   ​
3. 
   
   اگر

   

   
   وارون پذیر باشد آنگاه

   

   
   ​

[HR][/HR]
​

قضیه2

اگریک ستون از ماتریس مربع

از مرتبه

مضربی از ستون دیگر آن باشد آنگاه

اثبات:

بنابراین:

لذا:

---
​

قضیه3

اثبات:
به استقرا روی

عمل می‌کنیم:

فرض استقرا:

حکم استقرا:

اما:

منبع:آموزش ریاضیات و فیزیک
​

​

 

[Ali Akbar Kabiri]

محاسبه ي سينوس زواياي دلخواه

دوستان ببخشید یه کم طولانیه ولی کاربردی:

در اين مقاله روشي براي محاسبه ي سينوس زواياي دلخواه ارائه مي شود كه به كمك آن
مي توان ساير نسبت هاي مثلثاتي را نيز به دست آورد .

​

​

سينوس يك زاويه حاده چيست؟در مثلث قائم
الزاويه سينوس زاويه حاده برابر است با:نسبت ضلع رو به رو به اين زاويه،بر
وتر.
يك روش محاسبه براي زاويه هاي خيلي كوچك اين است كه نسبت قوس را به شعاع
حساب كنيم.
مثلا" براي زاويه 1 درجه داريمشكل 1)

​

​

كه
قوس

است.و در آن ...14159/3=

است.و AB=R .


پس
:

.

و به همين ترتيب مي توان به دست آورد:

​

حال
اگر سينوس 30 درجه را با روش فوق محاسبه كنيم ، عدد 524/0 را به جاي 500/0 به دست
مي آوريم كه خطاي حاصل

يعني قريب
5% خواهد بود و اين بيش از اندازه زياد است. براي اين كه بتوانيم مرزي براي روش فوق
پيدا كنيم سينوس زاويه 15درجه را با دقت محاسبه مي كنيم:

با توجه به شكل 2
داريم:

شكل2​

BC را به اندازه ي خودش تا نقطه ي D امتداد
مي دهيم و سپس D را به A وصل مي كنيم. در اين صورت دو مثلث مساوي ADC و ABC و زاويه
BAD مساوي 30درجه به دست مي آيد. عمود BE را بر AD فرود مي آوريم ؛ مثلث قائم
الزاويه BAE بازاويه 30 درجه(زاويه BAE ) به دست مي آيدو بنابراين

=BE مي شود.
حال AE را از مثلث ABE طبق رابطه ي فيثاغورث به دست مي
آوريم:

​

حال
در مثلث BED طول BD را محاسبه مي كنيم:

اگر به سه رقم اعشار اكتفا كرده باشيم ،
اين عدد، همان عددي است كه در جدول ها براي 15 Sin ضبط شده است.

حالا اگر مقدار را با روش نسبت قوس بر شعاع
محاسبه كنيم به عدد 262 /0 مي رسيم:با مقايسه دو عدد 262/0و259/0 مي بينيم كه اگر
هر دو را تا دو رقم اعشار گرد كنيم به عدد 26/0 مي رسيم . خطاي حاصل از تبديل مقدار
دقيق تر 259/0 به 26/0 مساوي

،يعني
قريب4/0% است. كه اين مقدار خطا براي محاسبه هاي عادي مانعي ندارد.

براي زاويه هاي بين 15 درجه و 30 درجه مي
توانيم از تناسب استفاده كنيم .به اين ترتيب استدلال مي كنيم كه اختلاف بين 30 Sin
و 15 Sin برابر است با :

​

با
اضافه شدن يك درجه به زاويه،سينوس آن به اندازه

اين
اختلاف، يعني به اندازه

زياد مي
شود. خطاي اين روش

است كه در
محاسبات تقريبي خود از آن صرف نظر مي كنيم .

به اين ترتيب با اضافه كردن
016/ 0به سينوس 15 درجه به طور متوالي سينوس زاويه هاي 16، 17درجه و غيره به دست مي
آيد:

.

.
.

​

به
همين ترتيب مي توان سينوس زاويه هاي بين 30 و 45 درجه را محاسبه نمود.

​

اگر
اين مقدار را مرتبا" به سينوس 30 درجه اضافه كنيم به دست مي آيد:

.
.
.

​

حال
به محاسبه ي سينوس زاويه ي حاده ي بزرگ تر از 45 درجه مي پردازيم:
براي اين
منظور مي توان از قضيه ي فيثاغورث استفاده كرد.
فرض مي كنيم كه بخوا هيم سينوس
زاويه 53 درجه را محاسبه كنيم:
بايد نسبت

را به دست
آوريم.(شكل3 )

شكل3​

چون37=B درجه است،پس مي توان
سينوس آن را به روش قبل محا سبه كرد:

​

از طرفي داريم :

بنا بر اين:

و لذا
داريم :

منبع:http://asghari-edu.blogfa.com
​

 

[Ali Akbar Kabiri]

اتحاد ها

اتحاد ها

اتحادها بسیار زیاد هستند اما چند اتحاد اصلی که پایه‌ی اتحادهای دیگر هستند
بدین قرارند:​

​

مربع دو جمله
ای

​

​

مربع سه
جمله‌ای

​

​

مکعب مجموع دو
جمله

​

​

مزدوج

​

​

اتحاد جمله
مشترک

​

​

مجموع و تفاضل مکعبات
دوجمله

​

​

اویلر(اولر)

​

​

اتحاد
لاگرانژ

​

​

نیوتونی

​

منبع:http://asghari-edu.blogfa.com
​

 

[Ali Akbar Kabiri]

آموزش تابع به روش شهودی (بخش 1)


به دلیل طولانی بودن به دو بخش تقسیم شد...

تاريخ تابع ​

تكامل مفهوم تابع حدود دو قرن به طول انجاميد . ديريكله ، رياضي دان آلماني(
1859 – 1805 م )، در اواسط قرن نوزدهم تعريف امروزي تابع را به صورتي روشن بيان كرد
و گفت : « y تابعي از متغير x در بازه a < x < b است؛ به شرطي كه هر مقدار x
از اين بازه با مقدار معين و مشخص از y ‌متناظر باشد ؛ البته، اين تناظر مي تواند
به هر ترتيب دلخواهي باشد.»

پيش از اين تعريف ، براي نخستين بار ، مقدار متغير ( تابع ) در قرن هفدهم و در
نوشته هاي هندسي فرما ( 1655 – 1601 م ) و دكارت ، رياضيدان فرانسوي ، مطرح شد
.براي مثال ، دكارت در كتاب هندسه خود مفهوم تابع را به عنوان " تغيير عرض در نتيجه
تغيير طول " بررسي مي كند.

در قرن هجدهم يوهان برنولي ( 1748- 1667 م ) ديدگاه جديدي را نسبت به تابع مطرح
مي كند . او مي گويد : « تابع به عنوان دستوري است كه مقدار يك متغير را با مقدار
متغير ديگر در نظر مي گيرد.»

در سال 1748 لئوناردا ويلر ، شاگرد يوهان برنولي ، نماد f) Function) را براي
تابع در نظر گرفت و آن را از ديدگاه تحليلي به صورت زير مطرح كرد:

« تابع يك متغير ، عبارت است از يك عبارت تحليلي كه به نحوي از اين مقدار متغير
و از عددها يا مقدارهاي ثابت تشكيل شده است.»

بنابراين، رياضيدانان پس از گذشت دو قرن توانستند مفهوم تابع را به صورت امروزي
آن كامل كنند. پس چه بهتر است ما معلمان اين مفهوم را با حوصله بيشتري براي دانش
آموزان مطرح كنيم. استدلال هاي شهودي تا حدود زيادي مي توانند به ما كمك كنند.

معرفي مفهوم تابع با شهود

همان طور كه گفتيم تعريف تابع به صورت امروزي بين رياضيدانان رايج نبود بلكه همه
آنان تصوير ذهني مشتركي از اين مفهوم داشتند. چه بهتر كه براي تدريس مفهوم تابع از
آن تصور ذهني مشترك رياضي دان ها استفاده كنيم و دانش آموزان را مانند رياضيدان ها
با مفهوم تابع درگير كنيم تا در مرحله آخر خودشان به تعريف امروزي تابع برسند.

تصور ذهني مشترك همه رياضيدان ها اين بود كه تابع مانند يك ماشين عمل مي كند ،
به طوري كه يك x را از ورودي مي گيرد و تنها يك مقدار y از خروجي بيرون مي دهد. پس
مي توان ابتدا از مدل زير براي بيان مفهوم تابع استفاده كرد:

چون ماشين f عملي را روي x انجام مي دهد، مي توان عمل انجام شده روي x را با
(f(x نمايش داد . بنابراين مي توان در خروجي به جاي y از نماد (f (x استفاده كرد:

مثال روزمره از تابع

قيمت نان را معمولا بر حسب قيمت هر كيلوگرم آرد محاسبه مي كنند . جدول 1 قيمت
گذاري نان را در سال هاي 1358 تا 1382 نشان مي‌دهد:


[TABLE="width: 38%, align: center"]
[TR]
[TD]

سال​

[/TD]
[TD]

(ريال )قيمت آرد​

[/TD]
[TD]

(ريال)قيمت نان​

[/TD]
[/TR]
[TR]
[TD]

1357​

[/TD]
[TD]

50​

[/TD]
[TD]

10​

[/TD]
[/TR]
[TR]
[TD]

1362​

[/TD]
[TD]

100​

[/TD]
[TD]

20​

[/TD]
[/TR]
[TR]
[TD]

1366​

[/TD]
[TD]

200​

[/TD]
[TD]

40​

[/TD]
[/TR]
[TR]
[TD]

1370​

[/TD]
[TD]

500​

[/TD]
[TD]

100​

[/TD]
[/TR]
[TR]
[TD]

1374​

[/TD]
[TD]

1000​

[/TD]
[TD]

200​

[/TD]
[/TR]
[TR]
[TD]

1378​

[/TD]
[TD]

1500​

[/TD]
[TD]

300​

[/TD]
[/TR]
[TR]
[TD]

1382​

[/TD]
[TD]

2000​

[/TD]
[TD]

400​

[/TD]
[/TR]
[/TABLE]




بيشتر كاربردهاي رياضي مستلزم استفاده از عددها و متغيرها براي بيان رابطه هاي
موجود در دنياي واقعي اطراف ما و زندگي روزمره است . با توجه به جدول 1، فرض كنيم
قيمت هر كيلوگرم آرد در سال هاي مشخص شده x ريال و قيمت نان در سال متناظر با آن y
ريال باشد . در اين صورت جدول 1رابطه اي را بين x و y بيان مي كند . اين رابطه ،
نمونه اي از تابع رياضي است . زيرا براي هر x ( قيمت هر كيلوگرم آرد ) فقط يك قيمت
متناظر y ( قيمت نان ) وجود دارد كه براي خريد هر عدد نان پرداخت مي شود . در حقيقت
جدول بالا قاعده اي را براي محاسبه قيمت نان در سال هاي مختلف نشان مي دهد . با كمي
دقت در اين جدول مي توانيد رابطه x ( قيمت هر كيلوگرم آرد ) و y ( قيمت هر عدد نان
) را بيان كنيد . اين رابطه، قاعده اي را نشان مي دهد كه ضابطه تابع ناميده مي شود.


حالا آيا مي توانيد حدس بزنيد كه اگر در سال 1386 قيمت آرد 3 هزار ريال باشد،
قيمت هر عدد نان در آن سال چقدر خواهد بود ؟ يا اگر قيمت نان در يك سال 5 ريال باشد
، قيمت آرد در آن سال چقدر خواهد بود ؟ آيا مي توانيد رابطه x و y را با نماد رياضي
بنويسيد ؟

تعريف تابع قيمت نان

تابع f ، قاعده اي است كه روي مجموعه D تعريف مي شود به طوري كه به هر x متعلق
به D ، يك عدد مشخص f(x) را نسبت مي‌دهد.

عدد f(x) ، مقدار تابع f را به ازاي x نشان مي دهد . كلمه قاعده كه در تعريف
بالا به آن اشاره شد،‌مي تواند با يك جدول ، ‌يك فرمول ، يك نمودار يا حتي با يك
جمله مشخص شود. به طوري كه با استفاده از آن ،‌ مقدار f(xي x داده شده مشخص مي شود
. معمولا از x براي نشان دادن متغير و از f براي نشان دادن تابع استفاده مي كنيم.


همچنين مي توانيم از حروف ديگري كه دوست داريم يا در وضعيت خاصي مناسب تر است،
استفاده كنيم.

در تابع قيمت نان كه ذكر كرديم، مجموعه D از همه مقادير ممكن براي قيمت هر
كيلوگرم آرد در سال هاي مختلف تشكيل شده است:

D = {50، 100، 200، 1000، 1500، 2000}
​

كه آن ها را با x مشخص كرديم . با معلوم بودن x در ستون دوم جدول، به راحتي مي
توان قيمت متناظر هر عدد نان يعني f(x) را از ستون سوم پيدا كرد . بنابراين داريم :

10= (50) f
20= (100) f
40= (200) f
100= (500) f
200= (1000) f
300= (1500) f
400= (2000) f
با توجه به برابري هاي بالا ملاحظه مي كنيد
كه قيمت نان در حقيقت يك پنجم قيمت آرد است و اين همان قاعده اي است كه قيمت گذاري
هر عدد نان را بر حسب قيمت هر كيلوگرم گندم نشان مي دهد ، بنابراين : x 5/1 = f(x.
به اين قاعده، ضابطه تابع گفته مي شود. مي توانيم براي نشان دادن تابع قيمت نان ،
اطلاعات جدول 1را با نمودار زير نشان دهيم .

در زندگي روزمره مي توان مثال هاي فراوان ديگري را براي بيان مفهوم تابع بيان
كرد . براي مثال نمره درس رياضي دانش آموزان ، تابعي از مدت زمان مطالعه آنها است .

منبع:http://asghari-edu.blogfa.com
​

 

[Ali Akbar Kabiri]

آموزش تابع به روش شهودی ( بخش 2)

مثال زيست شناختي تابع

وزن طبيعي هر شخص مي تواند تابعي از طول قد همان شخص باشد ( مجذور قد بر حسب متر
* 22= وزن طبيعي بر حسب كيلوگرم ) . مدت زمان ترميم يك زخم در بدن ، تابعي از ساخت
سلول هاي جديد و ساخت سلول هاي جديد تابعي از پروتئين هاي لازم براي ساخت سلول هاست
.

مثال رياضي تابع

مساحت ( A ) دايره اي به شعاع r از قاعده A= p r 2 به دست مي آيد :

به طور معمول اين فرمول را با نماد تابعي به صورت A(r)= p r 2 مي نويسيم تا مشخص
شود ، مساحت دايره A ، به شعاع دايره r وابسته است . هر چه شعاع بزرگ تر شود ،
مساحت بزرگ تر مي شود . بنابراين شعاع، هر عدد دلخواه نامنفي مي تواند باشد ، اما
مساحت همواره به شعاع دلخواه مستقل وابسته است . از اين رو، شعاع يعني متغير r را
در اين تابع متغير مستقل و A را متغير وابسته مي گوييم .

مثال فيزيكي تابع

اگر سنگ ريزه اي از بالاي برجي به طرف پايين رها شود و شتاب جاذبه 9.8/s 2 = g
باشد ، در اين صورت سرعت( به طرف پايين ) V بعد از t ثانيه و فاصله پيموده شده d از
موقع رها شدن پس از t ثانيه ، از رابطه هاي زير به دست مي آيد :

V(t)= 9.8t

d(t)= 4.9t 2

همان طور كه ملاحظه مي كنيد V و d هر دو تابع هايي از t هستند . در اين دو تابع
t متغير مستقل و v و d هر دو متغيرهاي وابسته به t هستند .

تركيب دو تابع

​

تابع وارون

​

تابه وارون f تابعي است كه عمل f را خنثي مي كند ، پس -1 (x)=x fof

مثال : تابع وارون تابع ها باضابطه هاي زير را به دست آوريد .

حد تابع در يك نقطه

حد تابع در يك نقطه را در دو حالت بررسي مي كنيم .

1- تابع در نقاط توپر داراي حد است فرض كنيم ( x,y ) A نقطه اي از نمودار تابه
با ضابطه y=f(x) باشد ، حد تابع f در نقطه اي به طول x برابر با y است .

2- وضعيت حد تابع در نقاط توخالي به صورت زير است :

الف ) اگر نمودار f در سمت چپ نقطه توخالي موجود باشد ، آن گاه تابع در اين نقطه
داراي حد چپ است .

ب ) اگر نمودار تابع f در سمت راست نقطه توخالي موجود باشد ، آن گاه تابع در اين
نقطه داراي حد راست است .

ج) اگر نمودار تابع در دو طرف نقطه توخالي موجود باشد ، يعني نمودار تابع در
نقطه توخالي بريدگي نداشته باشد ، آن گاه تابع در اين نقطه داراي حد راست و چپ
برابر است كه در اين حالت مي گوييم ، تابع در اين نقطه داراي حد است .

پيوستگي تابع در يك نقطه

نمودار تابع y=f(x را در نظر مي‌گيريم:

• نقطه توپر را مقدار تابع مي گوييم.

• اگر حد چپ و مقدار در يك نقطه بر هم منطبق شوند ، آن گاه تا بع در آن نقطه
پيوستگي چپ دارد.

• اگر حد راست و مقدار تابع در يك نقطه بر هم منطبق شوند ، آن گاه تابع در آن
نقطه پيوستگي راست دارد.

• اگر مقدار تابع و حد تابع در يك نقطه بر هم منطبق شوند ، آن گاه تابع در آن
نقطه پيوسته است.

مشتق پذيري تابع در يك نقطه

تابع f در x مشتق پذير است ، هر گاه:

الف ) تابع f در x پيوسته باشد.

ب ) در نقطه x فقط و فقط يك خط مماس بر منحني تابع f وجود داشته باشد . (اين خط
مماس بايد موازي محور عرض ها نباشد)

سؤال : تابع f در چه نقاطي مشتق پذير نيست ؟

الف ) در نقاطي كه تابع در آن ها ناپيوسته باشد .

ب ) در نقاطي كه دو خط مماس بر منحني f وجود داشته باشد. ( نقطه زاويه دار منحني
)

ج ) در نقاطي كه خط مماس بر منحني f موازي محور عرض ها باشد.

تابع اكيدا صعودي و نزولي

تابع پيوسته f را وقتي اكيدا صعودي مي گوييم كه هر گاه روي شكل از چپ به راست
حركت كنيم ، هميشه به طرف بالا برويم.

تابع پيوسته f را اكيدا نزولي گوييم كه هر گاه رو شكل از سمت چپ به راست حركت
كنيم ، هميشه به طرف پايين برويم.

تابع صعودي و نزولي

تابع پيوسته f را وقتي صعودي گوييم كه هر گاه روي شكل از سمت چپ به راست حركت
كنيم ، هميشه به طرف بالا برويم يا موازي محور x ها حركت كنيم .

تابع يوسته f را وقتي نزولي مي گوييم كه هر گاه روي شكل از سمت چپ به راست حركت
كنيم ، هميشه به طرف پايين بر.يم يا موازي محور x ها حركت كنيم.

اكسترمم نسبي تابع

• نقطه اي به طول x متعلق به D 1 را طول نقطه ماكزيمم نسبي تابع f گوييم ، هر
گاه:

الف ) در همسايگي x نمودار تابع f موجود باشد.

ب ) عرض نقطه x بزرگ تر يا مساوي با عرض نقطه همسايگي باشد.

• نقطه اي به طول x متعلق به D 1 را طول نقطه مي نيمم نسبي تابع f گوييم ، هر
گاه:

الف ) در همسايگي x نمودار تابع f موجودد باشد.

ب ) عرض نقطه x كوچك تر يا مساوي با عرض نقطه همسايگي باشد.

اكسترمم مطلق تابع

بالاتر نقطه نمودار تابع را ماكزيمم مطلق و پايين ترين نقطه نمودار f را مي نيمم
مطلق تابع مي‌وييم.

تذكر : اگر اكسترمم مطلق ،‌همسايگي داشته باشد ، آن گاه اكسترمم نسبي تابع هم
خواهد بود.

منبع:http://asghari-edu.blogfa.com
​

 

[Kavoshgar]

پاسخ : آموزش مباحث مختلف ریاضی ( فقط در همین تاپیک)

منابع فراموش نشه ها .... :3:

 

[Ali Akbar Kabiri]

روش حل معادله درجه 3

روش حل معادله درجه ۳

منبع: www.azarmath.com​

 

[Ali Akbar Kabiri]

مثلثات

مثلثات دبیرستانی، مختصر و مفید(کاری از استاد ارجمند جناب آقای عادل آخکندی)

منبع: www.azarmath.com​

 

[Ali Akbar Kabiri]

آموزش گراف ها ( بخش 1 )

به دلیل طولانی بودن به دو بخش تقسیم شده است.
تعریف



فرض کنید V یک مجموعه ناتهی و E زیرمجموعه‌ای از

باشد در این صورت زوج

را یک گراف می نامند.V را مجموعه راس ها و E را مجموعه یال ها می گویند. اگر
ترتیب قرار گرفتن راس ها در مجموعه E مهم باشد،گراف را گراف جهت‌دار می گویند و یال از راس

به سمت راس

را به صورت

نشان می‌دهند.در غیر این صورت گراف را بدون جهت می‌نامند و یال بین راس های

و

با نماد

نشان می‌دهند.

[TABLE="align: left"]
[TR]
[TD]

[/TD]
[/TR]
[/TABLE]


تعداد راس های یک گراف را مرتبه و تعداد
یال های آن را اندازه گراف می نامیم.
در شکل روبرو گرافی را با شش راس و
هفت یال مشاهده می کنیم

انواع گراف‌ها


گراف‌ها دارای انواع متعددی هستند که به برخی از آنها اشاره می‌کنیم:

• گراف همبند
• گراف ناهمبند
• گراف کامل
• گراف اویلری
• گراف همیلتونی
• گراف درختی
• گراف مسطح
• گراف دو بخشی
• گراف چندبخشی
• گراف k-مکعب
• گراف چرخ
• گراف ستاره‌ای
• گراف بازه‌ای
• گراف اشتراکی
• گراف منظم
• گراف جهت‌دار

[TABLE="class: daneshnamehtable"]
[TR]
[TD="class: daneshnamehcell"]در نظریه گراف ،یک گراف کامل
،گرافی است که هر بین هر دو راس آن دقیقا یک یال وجود داشته
باشد.
[/TD]
[/TR]
[/TABLE]
​

• یک گراف کامل از مرتبه n،دارای n راس و
  
  
  یال است و آن را با
  
  
  نشان می‌دهند.
• یک گراف کامل یک گراف منتظم از درجه n-1 است.

[HR][/HR]

مثال‌هایی از گراف کامل



در شکل زیر گراف‌های کامل از مرتبه یک تا مرتبه هشت نمایش داده شده است. از
تعریف این نوع گراف معلوم است که گراف کامل از مرتبه اول ،هیچ یالی ندارد.






[TABLE="align: center"]
[TR]
[TD]

[/TD]
[TD]

[/TD]
[/TR]
[TR]
[TD]

[/TD]
[TD]

[/TD]
[/TR]
[TR]
[TD]

[/TD]
[TD]

[/TD]
[/TR]
[TR]
[TD]

[/TD]
[TD]

[/TD]
[/TR]
[/TABLE]



گراف دو بخشی:
مفهوم
شهودی:
فرض کنید در یک شرکت صنعتی تعدادی شغل بدون متصدی می
باشند و تعدادی متقاضی برای این مشاغل اعلام آمادگی نموده اند. حال این سوال مطرح
می شود که آیا می توان به هر متقاضی شغلی متناسب او اختصاص داد؟
برای حل چنین
مسئله ای که به مسئله ی تخصیص موسوم است، با استفاده از گراف می توان وضعیت های خاص را پیاده سازی
نمود. بدین ترتیب که گروهی که متقاضی مشاغل هستند در مجموعه ای به نام X و
مجموعه مشاغل بدون متصدی را در مجموعه ای به نام Y قرار می دهیم. گراف رسم
شده چنین است که به بعضی از اعضای مجموعه X یک یا چند عضو از مجموعه
Y توسط یال ها وصل می نماید.
به عبارت دیگر گراف بوجود امدی دارای
یالهای xy است که مر متقاضی x را از مجموعه X به شغلهای مناسب
y از مجموعه Y متصل می نماید. به عبارت دقیقتر هیچ دو راس متعلق به
مجموعه X(متفاضیان) یا هیچ دو راس متعلق به مجموعه Y(مشاغل) توسط هیچ
یالی به هم متصل نمی باشند. چنین گرافی را گراف دوبخشی یا دوپارچه می
گویند.


[HR][/HR]

تعریف گراف دوبخشی:
گراف دوبخشی گرافی است که
بتوان مجموعه رئوس آن را به دو مجموعه X و Y چنان افراز نمود که هر یال آن دارای یک
انتها در X و یک انتها در Y باشد، به گونه ای که هیچ دوراسی در X یا در Y با هم
مجاور نباشند. چنین افرازی را دوبخشی کردن گراف می نامند.

• یادآوری: منظور از افراز یک مجموعه چون A به چند
  مجموعه، تقسیم مجموعه A به چند مجموعه ناتهی دیگر است که باهم اشتراکی
  نداشته باشند و اجتماع همه آنها برابر مجموعه A باشد. و در اینجا اگر V به عنوان
  مجموعه رئوس باشد افراز V به دو مجموعه X و Y (ناتهی) به این صورت است که:
  

به عنوان مثال گراف زیر یک گراف دو بخشی است:

چرا که در این گراف مجموعه رئوس را می توان به دو مجموعه

و

چنان افراز نمود که هیچ دو راسی در این دو مجموعه با هم مجاور نباشند و هر یال تنها
یک انتها در مجموعه اول و یک انتها در مجموعه دوم داشته باشد.


[HR][/HR]

• قضیه: اگر گراف k-منتظم، دارای دوبخش X و Y باشد، آنگاه
  تعداد عناصر X و Y باهم برابر است.

برهان:
فرض می کنیم X دارای m راس و Y دارای n
راس از راسهای گراف دو بخشی k-منتظم می باشد. یشان می دهیم که: m=n.
از
هر راس در مجموعه X به تعداد k، یال خارج می شود(چرا؟) پس تعداد کل یالها(q) برابر
است با: q=km
چون جمعا" m+n راس داریم، لذا مطابق قضیه مجموع
درجه های راس ها و تعریف گراف k-منتظم داریم:

پس:

و
لذا حکم برقرار است.




[HR][/HR]

 

[Ali Akbar Kabiri]

آموزش گراف ها ( بخش 2 )

[HR][/HR]

گراف دو بخشی
کامل:


گراف دو بخشی کامل یک گراف دو
بخشی است که مجموع رئوس آن به دو مجموعه X و Y چنان افراز شده است و هر راس

در ان به هر راس

وصل شده است. گراف دو بخشی کامل را با نماد

نشان می دهند که در آن m تعداد عناصر مجموعه X و n تعداد عناصر مجموعه Y
است.

• به عنوان مثال گراف زیر یک گراف دو بخشی کامل
  
  
  است.

[HR][/HR]

• قضیه: در گراف دو بخشی کامل
  
  
  همواره داریم:
  
  
  که در آن q اندازه گراف مذکور است.

برهان:
می دانیم گراف

دارای m راس در یک مجموعه و n راس در مجموعه ای دیگر است.
تعداد کل راس ها
P=m+n می باشد(مرتبه گراف). اما برای یافتن تعداد یالهای گراف دو بخشی کامل

ابتدا تعداد کل یالهای یک گراف
کامل از مرتبه P=m+n را محاسبه کرده سپس تعداد کل یالهایی که راس های دو مجموعه
را در خود دو مجموعه به هم وصل می کند از آن کم می کنیم. داریم:

• قضیه: اگر G یک گراف ساده و دو بخشی از مرتبه p و اندازه q
  باشد آنگاه:
  

برهان:
چون گراف دو بخشی است مطابق قضیه قبل
حداکثر یال آن برابر است با:

که m تعداد یال بخش X و n تعداد یال بخش Y است.(بیشترین تعداد یال مربوط به
زمانی است که گراف، دو بخشی کامل باشد).
از طرفی می دانیم که:

پس:

, داریم:

چون
u آهنگ تغییرات تعداد یال را نشان می دهد و

پس از

نتیجه می شود که:

ضمنا" می دانیم که:

پس
بیشترین مقدار u در نقطه

اتفاق می افتد، یعنی:

بنابراین
تعداد کل یالها نمی تواند از

بیشتر باشد و لذا

:

گراف چرخ

هر گراف

که
دارای

راس باشد که

و یکی از رئوس از درجه ی

و بقیه از درجه ی سه باشند، را یک گراف چرخ می نامیم- مانند مثال های زیر:

گراف چرخ

راسی را با

نمایش می دهیم.








گراف بازه ها:

فرض می کنیم مجموعه ای از بازه
های باز داریم. اگر این بازه ها را به عنوان رئوس و اتصال دو راس را، به شرط ناتهی
بودن اشتراک بازه های متناظر، یال ها در نظر بگیریم، گرافی می توان رسم کرد که به
آن گراف بازی ها میگوییم. به عبارت دریگر گراف بازه ای متناظر با بازی های باز

گرافی است که رئوس آن بازه های باز

بوده و در صورتی دو راس مجاورند(میانشان یال وجود دارد) که بازه های متناظر آن دو
راس اشتراک ناتهی داشته باشند.

• تذکر: از حساب دیفرانسیل و انتگرال به یاد داریم
  که بازه ی باز
  
  
  مجموعه همه اعداد حقیقی بین دو عدد a و b(که شامل خود a و b نمی شود) است.

مـثال: به عنوان مثال می خواهیم
گراف بازه ای متناظر با بازه های زیر را رسـم کنیم:

پاسخ: دو بازه

اشتراک ناتهی دارند، لذا راس های متناظر این دو بازه را با یک یال به هم وصل می
کنیم. ولی دو بازه

اشتراکشان تهی است، پس راس هایی متناظر این دو بازه به هم وصل نمی شوند. به این
ترتیب به همین استدلال نمودار گراف بازه ای شش بازه فوق به صورت زیر در می آید:

[HR][/HR]
نحوه تشخیص گراف
بازه ای:
سوالی که پیش می آید این است که چگونه می توان
تشخیص داد که یک گراف بازه ای است یا نه؟
به عنوان مثال می خواهیم تحقیق کنیم
که آیا این گراف بازه ای است یا نه:

سعی
می کنیم بازه هایی را بیابیم که گراف متناظر آنها (گراف بازه ای آنها) به این صورت
باشد.
5 بازه زیر را در نظر می گیریم:

(دقت شود که دو بازه a و b نباید اشتراک داشته باشند)
مشاهده می شود گراف
متناظر با این بازه ها به صورت گراف داده شده است پس این گراف بازه ای است.


حال به این نمونه توجه کنید. می خواهیم بازه ای بودن این گراف را بررسی
کنیم:

قبل
از بررسی کردن به توضیحات زیر توجه کنید:

• در حالت کلی می توان گفت هر گراف دلخواه دارای یک دور از مرتبه 4 گراف بازه
  ای نمی باشد.

برهان
فرض می کنیم دور مرتبه 4 مقابل خود یک
گراف یا قسمتی از یک گراف باشد:

نشان
می دهیم این گراف و یا گرافی شامل این دور بازه ای نمی باشد. به برهان خلف اگر این
گراف یا گراف شامل ایت دور بازه ای باشد:
روی محور اعداد حقیقی برای هر یک از
راس ها بازه ای به صورت زیر در نظر می گیریم:
چون a با b مجاور است باید روی
محور اعداد بازه های متناظر با این دو راس دارای اشتراک باشند مطابق شکل:

از
طرفی c نیز با b مجاور است و با a مجاور نمی باشد پس بازه متناظر با c با بازه b
اشتراک دارد ولی با بازه متناظر a اشتراک ندارد. مطابق شکل:

حال
چون d هم با a و هم با c مجاور است پس بازه متناظر با راس d باید به گونه ای اشد که
هم به a و هم به c اشتراک داشته باشد و این تناقض است چرا که در این صورت d با b هم
اشتراک پیدا می کند در حالی که از b به d یالی رسم نشده است.

پس
فرض خلف باطل و حکم برقرار است.


پس در این گراف چون abcd یک
دور با طول 4 است بنابر دلایل ذکر شده بازه ای نمی باشد.

[HR][/HR]

روش دیگری که می توان بوسیله
آن تعیین نمود که گراف بازه ای نمی باشد این است که اگر در گرافی حفره وجود داشت آن
گراف بازه ای نمی باشد. مشاهده می شود این روش تعمیمی بر روش استدلال گفته شده در
بالا است.
البته این شرط، یک شرط کافی برای غیر بازه ای بودن گراف است و اگر
در گرافی حفره مشاهده نشد نمی توان نتیجه گرفت لزوما گراف بازه ای
است.

به عنوان مثال گراف زیر دارای حفره نمی باشد ولی در عین
حال بازه ای نیز نمی باشد:

• یادآوری(تعریف حفره): در گراف ها هر چهار ضلعی یا n
  ضلعی (n>3) که بدون قطر باشد را یک حفره می گوییم.

به عنوان
مثال در گراف قبلی به صورت:

abcd
یک حفره محسوب می شود و لذا گراف همان طور که گفته شد بازه ای نمی باشد.


​

گراف‌ها و ساختار داده‌ها

هر گراف را می‌توان با یک ماتریس نمایش داد ، که به آن ماتریس
مجاورت گراف گویند. در این روش از آرایه هااستفاده می‌کنیم.این ماتریس به
تعداد راس‌های گراف دارای سطر و ستون است.وعدد 1 نشان دهنده وجود یک یال بین دو راس
و عدد 0 نشان دهنده عدم وجود ارتباط بین دو راس است.یعنی ماتریس ما شامل دو عدد صفر
و یک است. با استفاده از این ماتریس می‌توان رئوسی را که با یک راس در ارتباط‌اند و
نیز رئوسی را که با هیچ راس دیگری ارتباط ندارند رامشخص کرد.





[TABLE="class: daneshnamehtopline"]
[TR]
[TD]ماتریس مجاورت گراف



[/TD]
[TD="align: left"][/TD]
[/TR]
[/TABLE]



تعریف

ماتریس مجاورت گراف، ماتریس است که خصوصیات و ویژگی های
یک گراف را به طور خلاصه نمایش می دهد.
ماتریس مجاورت گراف، ماتریسی است که ویژگی های زیر را
دارد:
1) ماتریس مربعی است که تعداد سطر و ستون آن برابر با اندازه (تعداد راس)
گراف می باشد.
2) این ماتریس فقط از اعداد یک و صفر تشکیل شده است.
3)رایه
های واقع بر قطر اصلی آن فقط و فقط از صفر تشکیل شده باشد.
4)مهمتر از همه این
است که این ماتریس باید متقارن باشد.
به کمک این ماتریس می توانیم به آسانی، یک
گراف را رسم کنیم. هر سطر نشان می دهد که آن راس مربوط به آن سطر به چه روسی متصل
است به ازای هر یالی که آن راس به راس دیگری متصل می شود، عدد یک را می گذاریم و
اگر دو راس به هم متصل نباشند، عدد صفر را می گذاریم. پس تعدا یک های یک سطر درجه
آن سطر می باشد.


قضایای مربوط به ماتریس
مجاورت گراف:


1)اگر M ماتریس مجاورت یک گراف باشد، آنگاه درایه های
واقع بر سطر iام ستون iام ماتریس M به توان دو برابر با درجه راس iام است












[TABLE="class: daneshnamehtopline"]
[TR]
[TD]درخت «گراف»



[/TD]
[TD="align: left"][/TD]
[/TR]
[/TABLE]




[TABLE="align: left"]
[TR]
[TD]

[/TD]
[/TR]
[/TABLE]



در نظریه گراف، یک درخت گرافی است که هر دو راس آن
بوسیله دقیقاً یک یال به هم متصل شده اند، یک جنگل گرافی است که دو راس آن
با بیشتر از یک راس به هم متصل اند. یک جنگل در واقع از اتصال، مجموعه ای از درخت
ها به وجود می آید.


تعریف ها:



یک درخت از شرایط زیر پیروی می کند.

• در آن هیچ مدار یا حلقه ای موجود نیست.
• درخت یک گراف همبند است.
• با حذف یک یال از درخت، دیگر آن گراف یک درخت نخواهد بود.
• هر دو راس در یک درحت بوسیله مسیر منحصر به فرد به هم متصل می شوند.

اگر یک جنگل با n راس باشد آن گاه از شرایط زیر پیروی می کند:

• T یک درخت است.
• T مداری ندارد و n-1 یال دارد.
• T همبند است و n-1 یال دارد.
• هر دو راس T با مسیر منحصر به فرد به هم متصل می شوند.
• T مداری ندارد و با افزودن یگ یال جدید دقیقاً یک مدار بوجود می آید.

مثال:


در شکل
درختی با 6 راس و 5 یال وجود دارد مقدار یالها برابر 5 = 1- 6 است. و بین دو راس 2
و 6 دقیقاً یک مسیر وجود دارد که عبارت است از 6-5-4-2


بیشتر بدانیم:


درخت مولد گراف مانند G بزرگترین گراف درختی
مانند T در G است که با افزودن یک یال از درخت بودن خارج می شود و واضح است اگر یک
گراف n راس و m یال داشته باشد آن گاه درخت مولد n-1 یال داشته و باید m >=
n-1 باشد.
تعداد درخت های مولد متمایز برای گراف کامل با n راس برابر

است.
این قضیه به قضیه کایلی معروف است.
تعداد درخت هایی
که با n راس با درجات

می توان ساخت برابر مقدار زیر است:

منبع:آموزش ریاضیات و فیزیک
​

 

[Ali Akbar Kabiri]

دنباله ها

تعریف دنباله


تابعی را که قلمروش مجموعه اعداد طبیعی و بردش مجموعه غیرتهی A باشد یک دنباله
می‌نامیم. اعداد واقع در برد یک دنباله را جملات دنباله و جمله n ام
را با

نمایش داده و جمله عمومی دنباله می‌گوئیم. بنابراین اگر تابع f از N به A یک دنباله
و

و مقدار f به ازای n باشد می‌نویسیم.

. یک دنباله را بصورت

نمایش می‌دهند.
نکته
اگر A=R یا A=Q باشد آنگاه f را بترتیب دنباله
حقیقی یا دنباله مختلط می‌نامیم.


تعریف


الف) دنباله

صعودی (نزولی) نامیده می‌شود اگر به ازای

داشته باشیم:

ب) دنباله

ناصعودی (نانزولی) نامیده می‌شود اگر به ازای هر

داشته باشیم:

پ) دنباله حقیقی

که دارای یکی از ویژگی‌های الف یا ب است، دنباله یکنوا نامیده می‌شود.


ت)
دنباله حقیقی

را از بالا (پایین) کراندار می‌نامند اگر عدد مثبت M وجود داشته باشد که به ازای هر

داشته باشیم:

ث) دنباله

کراندار نامیده می‌شود اگر هم از بالا و هم از پایین کراندار باشد. دنباله‌ای که
کراندار نباشد بی‌کران است.


همگرایی و یا عدم‌همگرایی دنباله


می‌گوئیم دنباله عددی

به عدد L همگراست اگر به ازای هر

عدد طبیعی N وجود داشته باشد که:

بعبارت بهتر دنباله فوق به عدد L همگرا است اگر به ازای هر

از مرحله‌ای به بعد تمام جمله‌های آن در

همسایگی L قرار گیرند. دنباله‌ای که به عددی همگرا نباشد. واگرا نامیده می‌شود. در
حقیقت همگرایی دنباله

به عدم L هم‌ارز تعریف عدد L بعنوان حد در بی‌نهایت تابعی است که دنباله را تعریف
می‌کند و چون حد تابع در هر نقطه منحصر بفرد است. پس L یکتاست.


سوالی که مطرح می‌شود این است که چه نوع
دنباله‌‌هایی همگرا هستند؟


در پاسخ به سوال فوق قضیه مهم زیر را داریم:
قضیه
هر دنباله یکنوا و کراندار همگراست. از
مهمترین ویژگی‌های دنباله‌های همگرا کرانداربودن آنهاست. بنابراین دنباله‌های همگرا
زیردسته‌ای از دسته دنباله‌های کراندار هستند. عکس این مطلب صحیح نیست یعنی دسته
دنباله‌های کراندار زیردسته دنباله‌های همگرا نیست. با توجه به مطالب ذکر شده نتیجه
مهم دیگری که می‌گیریم این است که: هر دنباله همگرا کراندار است. اما ممکن
است دنباله‌ای کراندار باشد ولی همگرا نباشد مثل دنباله

با اینکه کراندار است ولی واگراست. توجه می‌کنیم که در کاربرد قضیه ذکر شده در بالا
باید هر دو شرط یکنوایی و کرانداری همزمان برقرار باشد تا نتیجه بگیریم دنباله
همگراست. در مثال ذکر شده دنباله یکنوا نیست زیرا به ازای nهای مثبت پاسخ مثبت 1
می‌شود و به ازای nهای فرد پاسخ منفی یک خواهد بود پس یکنوا نیست بلکه نوسانی است
بنابراین حد ندارد در نتیجه واگراست.
نکته
دنباله‌های ثابت همگرا
هستند یعنی اگر k عدد ثابت دلخواهی باشد آنگاه دنباله ثابت

که به ازای هر n با

تعریف شده است همگرا به k می‌باشد.


دنباله‌های کشی


دنباله

را کشی گویند اگر به ازای هر

عدد طبیعی N وجود داشته باشد که

نکته بسیار مهم درباره دنباله‌های کشی این است که هر دنباله کشی همگراست.
عکس این مطلب نیز صحیح است یعنی هر دنباله کشی همگراست. این مطلب را بدون اثبات
می‌پذیریم.


در مورد دنباله‌ها لازم است بدانیم که

• هرگاه دنباله‌های
  
  
  و
  
  
  به ترتیب به B , A همگرا باشند آنگاه مجموع دو دنباله به
  
  
  همگرا است. ضرب دو دنباله فوق در یکدیگر به
  
  
  همگراست. حاصل تقسیم دو دنباله ذکر شده به
  
  
  همگراست مشروط بر اینکه
  
  
  و
  
  
  هرگز صفر نباشد. هرگاه k یک عدد ثابت و دلخواه باشد در اینصورت
  
  
  فرض است که جمیع حدود به ازای n بسمت بی‌نهایت گرفته می‌شوند.

نتیجه
هرگاه دنباله

واگرا بوده و C عددی مخالف صفر باشد آنگاه دنباله

واگرا می‌باشد.
قضیه ساندویچ
هرگاه به
ازای هر n بزرگتر از اندیسی چون N

و

آنگاه نیز

خواهد بود. کاربرد مطالب فوق توسط قضیه‌ای وسیع می‌شود که می‌گوید حاصل اعمال یک
تابع پیوسته بر یک دنباله واگرا ، دنباله‌های همگراست.
قضیه
هرگاه

به L میل کند و تابع f در L پیوسته باشد و در جمیع

ها
تعریف شده باشد آنگاه:

منبع: آموزش ریاضیات و فیزیک

 

[Ali Akbar Kabiri]

آموزش روشهای مختلف دست یابی به برد توابع

آموزش روشهای مختلف دست یابی به برد توابع

​

روش اول:
به کمک تشکیل جدول تغییرات تابع.به
این ترتیب که از معادله تابع مشتق می گیریم و جوابهای(0های)حقیقی آن را به دست می
آوریم.سپس جدول تغییرات تابع را رسم می کنیم.تغییرات y برد تابع را نشان می
دهد.
مثلا برای یافتن برد تابع به معادله یy=x^2-2x+3
مشتق تابع برابر میشه
با 2x-2 که توی 1 برابر 0 میشه.علامت تابع در طرف راست 1 موافق علامت ضریب x^2 و در
چپش مخالف علامت ضریب x^2 میشه.(اگه توی مشتق گیری یا تعیین علامت اشکالی دارید
بفرمایید تا توضیح بدم).
در x=1 تابع برابر میشه با 2. پس در حقیقت تابع از
+بینهایت میاد تا 2 و از 2 میره تا +بی نهایت.(اگه x رو - یا +بینهایت بگیرید y
میشه مثبت بی نهایت. چون در بی نهایت بنابر قوانین حد،علامت تابع میشه همون علامت
بزرگترین درجه در بی نهایت.).بنابر این برد تابع میشه بسته ی 2 تا باز بینهایت (چرا
بسته؟چون تابع توی 2 تعریف شده یعنی جواب داره،(برد داره)

روش دوم:

(معکوس یابی) (توجه:فقط در مواردی قابل استفاده است
که متغیر مستقل تابع با یک توان مثلا 1 یا 2 یا ... در معادله بیاید وگرنه در مرحله
فاکتور گیری به مشکل بر میخوریم.)
از معادله تابع،x را بر حسب y بدست می
آوریم.سپس حدود y را چنان پیدا می کنیم که x موجود باشد.
مثال:برد تابع به
معادله y=(x-1)/(x+1) را بیابید.
حل:
دامنه تابع میشه R به جز منفی 1
حالا
از روی معادله تابع:
xy+y=x-1 پس xy-x=-1-y و از اونجا (بعد از فاکتور گیری) x
برابرمیشه با (منفی y منهای 1) تقسیم بر y-1 (وای مساوی 1 نباشد که مخرج 0 نشود)
اگر y=1 نباشد،آنگاه x همواره وجود خواهد داشت پس برد تابع میشه همه اعداد حقیقی به
جز 1.

روش سوم:
استفاده از اتحاد های ناقص(همون چیزی که
پرنیان خانوم به عنوان مربع کامل ازش اسم بردن):
فرمولش
اینه:
x^2+,-kx=(x+,-k/2)^2-k^2/4
مثال:مربع کامل کردن y=x^2-2x+3

حل:
قسمت x^2-2x رو طبق فرمول بالا این طور می نویسیم:
(x-1) بتوان 2 منهای 1

بعد هم با سه جمعش می کنیم.به این ترتیب قسمت متغیردار تابع مربع می شود و
باقیمانده مقداری است ثابت که برد گرفتن را ساده می کند.
اما بیان کوچه بازاری
این میشه که یه پرانتز میذاریم و توش ایکس رو قرار میدیم بعد ضریب ایکس رو (در مثال
بالامنفی2) نصف می کنیم ومیذاریم بعد از ایکس.پرانتز رو می بندیم. و یه توان دو
میزاریم روی پرانتز بعد حاصل این پرانتز رو بدست میاریم.هر چی کم داشت اضافه می
کنیم بعد از پرانتز.(یا اگه زیاد داشت کم می کنیم)بعد هم با سه که مال خودشه جمعش
می کنیم.
حالا تعیین برد از این روش:
در مثال بالا کمترین مقدار (ایکس منهای
یک) بتوان 2 ، صفر است وبیشترین مقدار ندارد.یعنی به سمت بینهایت میل میکند.پس
کمترین مقدار تابع 2 است.(وقتی ایکس منهای یک بتوان دو صفر میشود)(طبق معادله ی
جدید که از اتحاد بدست اومد).وبرد میشه 2 تا بینهایت.

روش چهارم:
آ سینوس ایکس+بی کسینوس ایکس بین
رادیکال(آدو+بی دو) و منفیش قرار داره.

چند روش دیگه هم برای تعیین برد وجود
داره که ان شاء الله وقتی جزوه م رو پیدا کردم براتون میذارم.(اونا کنکوریه خیلی
توپه!)

اما چند تذکر در مورد برد تابعکه میتونن به عنوان روش مورد استفاده
قرار بگیرن):

1-برای تعیین برد،گاهی اوقات می توان شکل تابع را رسم کرد مثلا
درجه دو ها را مربع کامل می کنیم.و با قواعد انتقال،اونها رو رسم می کنیم.حدود تابع
روی محور y میشه برد.
2-اگر تابع اکیدا یکنوا باشد،به کمک دامنه می توان برد را
معین کرد.x را یک بار به مثبت و بار دوم به منفی بینهایت میل میدیم.و حدود y رو
بدست میاریم.

منبع:آموزش ریاضیات و فیزیک

 

[Ali Akbar Kabiri]

اعداد مختلط

درس توابع مختلط يکي از دروس جذاب و پرکاربرد دوره ي کارشناسي رياضي ميباشد.در اين درس ابتدا اعداد مختلط و سپس توابع مختلط معرفي ميشوند و خواص مهم نظريه مانند مشتق و انتگرال و سريها و نگاشتها و برخي کاربردهاي آنها در ديگر زمينه هاي رياضي و ديگر دانشها بررسي ميشود.برخي نکات مفيد اين درس را بيان کرده ايم.

1.در واقع اعداد مختلط کاملترين مجموعه ي اعداد ميباشند.يعني نيازهاي ما براي حل معادلات و استفاده از داده ها و کمستهاي عددي در محاسبات با اين مجموعه ي اعداد بسته ميشود.

2.مجموعه ي اعداد مختلط مرتب نميباشد يعني در آن ترتيب بزرگي يا کوچکي اعداد را نميتوان تعريف کرد.

3.در واقع تفاوت اصلي آناليز مختلط با آناليز چند متغيره در وجود عنصر i ميباشد.و الا بسياري از خواص مشترک را ميتوانروي زوجهاي مرتب (x,y) از دو مجموعه يافت.

4.در اثباتهاي نتايج آناليز مختلط مناسب است که از فرم قطبي يا مثلثاتي اعداد مختلط بجاي صورت دکارتي استفاده نماييم.

5.به اين قضيه توجه کنيد: "هر عدد مختلط n ريشه دارد که روي يک n ضلعي منتظم به مرکز مبدا واقع مياشند." در اين قضيه،آناليز مختلط ، جبر مجرد و مقدماتي و هندسه پيوند ميخورند.

6.از اعداد مختلط در چندين مورد نتايج هندسه ي مسطحه ميتوان استفاده نمود.براي اطلاعات بيشتر به کتاب "اعداد مختط و هندسه " از مرکز نشر دانشگاهي مراجعه نماييد.

7.توابع و اعداد حقيق زير مجموعه اي از آناليز مختلط اند.پس تقريبا همه ي نتايج اينجا را ميتوا در مورد آنها به کار گرفت.مثلا اينکه "چنانچه تابعي در کل صفحه مشتقپذير باشد،آنگاه تا بينهايت بار مشتق دارد" که نتيجهاي موثر ميباشد.

8.براي رسيدن به توابع مقدماتي مختلط از روي توابع مشابه حقيقي از دو روش ميتوان استفاده نمود:اول استفاده از بسطهاي توابع مانند تيلور و مکلورن.دوم تعريف کردن آنها بصورت مشابه و با همان خواص.

منبع: سایت علمی دانشجویان ایران

 

[Ali Akbar Kabiri]

نکات مربوط به مجموعه ها

نکات جبر :

1) تعریف تفاضل
متقارن:

یا

۲)قانون
جذب:

۳)قوانین دو مر گان:

4) برای با قیمانده تقسیم اعداد بزرگ
بر اعداد کوچک: اگر r باقیمانده تقسیم a برmباشد آنگاه

یعنی
باقیمانده تقسیم a بر m با باقیمانده تقسیم r بر m با هم یکی
است.​

اگر

،آنگاه A,B
دو پیشامد نا ساز گارند

5)اگر A,B دو پیشامد مستقل باشند
:

6)اگر AوB اشتراکشان تهی نباشد دو پیشامد A,B
دلخواه

​

۷)اگر A,B دو پیشامد مستقل نبا شند B
به A بستگی داشته باشد:​

​

و ​

​

۸) اگر A,B دو پیشامد
باشند

​

9) شرط آنکه معادله همنهشتی

دارای جواب باشد
آنست

منبع: ریاضی نیک

 

[Ali Akbar Kabiri]

آموزش مشتق گیری

یکی از مباحث مهم و اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال مفهوم مشتق یک تابع است که در کتب حسابان سال سوم متوسطه و دیفرانسیل دوره پیش دانشگاهی در مورد آن بحث شده است. اهمیت مشتق به دلیل کاربردهای زیاد آن در علومی چون فیزیک و مکانیک است.
با استفاده از فایل آموزشی زیر که به صورت pdf در اختیار شماست، با دستورالعمل های محاسبه مشتق یک تابع در متمتیکا آشنا می شوید.



دانلود فایل آموزشی مشتق گیری از توابع با استفاده از متمتیکا

 

[Ali Akbar Kabiri]

اصل لانه کبوتری

اصل لانه کبوتری:

مثال هایی از اصل لانه کبوتری مربوط به درس جبر و احتمال سوم ریاضی به صورت pdf را از لینک های
زیر دانلود کنید. ​

دانلود
فایل - لینک
کمکی



منبع: ریاضی سرا​

 

[Ali Akbar Kabiri]

فرمول های مثلثات

[SUP]

[/SUP]

سینوس‌ها و کسینوس‌های حول دایره
مثلثاتی



روابط مهم مثلثاتی که در حل مسائل بسیار موثر خواهند بود :

'tan(45 + a) = 1
+ tana / 1 −
tana'

[HR][/HR]

چنانچه

,
: آنگاه

[HR][/HR]


فرمول کاشانی که در هر مثلثی صدق می‌کند

منبع :.