انتگرال

Aphrodite · 1391/2/30

این یه سوال سادست از کنکور
ممنون میشم کسی توضیح کامل بهم بده:115:

1) حاصل انتگرال های زیر را بیابید

threehandsnal · 1391/2/30

پاسخ : انتگرال

اولی:

$\int [\sin^2 x(1+\cos x)]dx=\int [(1-\cos^2 x)(1+\cos x)]dx=\int [(1+\cos x-\cos^2 x-\cos^3 x)]dx=\int [1]dx+\int [\cos x]dx-\int [\cos^2 x]dx-\int [\cos^3 x]dx=[x+\text{constant}]+[\sin x]-[\frac{\sin x \cos x}{2}+\frac{1}{2}\int [1]dx]-[\frac{\sin x \cos^2 x}{3}+\frac{2}{3}\int [\cos x]dx]=[x+\text{constant}]+[\sin x]-[\frac{1}{4}\sin 2x+\frac{1}{2}(x+\text{constant})]-[\frac{1}{6}\cos x \sin 2x+\frac{2}{3}\sin x]=\frac{x}{2}+\frac{1}{3}\sin x-\frac{1}{4}\sin 2x-\frac{1}{6}\cos x \sin 2x+\text{constant}=\frac{1}{12}\left ( 6x+4\sin x-3\sin 2x-2\cos x \sin 2x \right )+\text{constant}=\boxed{\frac{1}{12}(6 x+4 \sin^3 x-3 \sin 2 x)+\text{constant}}$

در اثبات فقط از دو فرمول استفاده شد:

$\int [\cos ^m x]dx=\frac{\sin x \cos ^{m-1}x}{m}+\frac{m-1}{m}\int [\cos ^{m-2}]dx$

و

$\sin^3 x=(1-\cos ^2 x)\sin x=\sin x-\sin x \cos ^2 x =\sin x-\frac{\sin 2x \cos x}{2}$

==================================================
دومی:

$\int_{0}^{2\pi}[\sin x . \cos x]=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\sin 2x=\frac{1}{2}\int_{0}^{4\pi}\sin x\text{ But We Know That : }\int_{0}^{2\pi}\sin x=0\implies \int_{0}^{2\pi}[\sin x . \cos x]=\frac{1}{2}\int_{0}^{4\pi}\sin x=\boxed{0}$

orion · 1391/2/30

پاسخ : انتگرال

اون دومي جز صحيحه؟؟؟؟؟؟؟؟؟......اگه باشه اشتپ كردي

darrande · 1391/2/30

پاسخ : انتگرال

سلام
اولی رو خیلی طول دادی خب بگیر ضرب کن انتگرال 2^sinکه معلومه + برای 2^cos *sinتغییر متغیر بده sin=U

Aphrodite · 1391/2/30

پاسخ : انتگرال

orion گفت

آره جز صحیحه

darrande · 1391/2/30

پاسخ : انتگرال

دومی هم که میشه یک دوم سینوس 2x خوب جز صحیح داره نمودارش بدیهیست!
یا بگیر بازه بندی کن
راستی این آقای threehandsnalگرفته توماس خونده رو سوالا،، سخت فکر میکنه بهش سوال سخت بدید سریع حل میکنه

threehandsnal · 1391/2/30

پاسخ : انتگرال

من برداشتی که از دومی کردم این بود که جز صحیح نیست! و تمام [ ] هاام در سوالا منظورم همون پرانتز بود!
و دومی رو هم که با پرانتز آقای darrande ترتیبشو دادن!‌ :3:
@darrande :
آقا راست میگی! من زیادی پیچوندمش :4:

انتگرال

Aphrodite

New Member

threehandsnal

New Member

orion

Well-Known Member

darrande

Well-Known Member

Aphrodite

New Member

darrande

Well-Known Member

threehandsnal

New Member