اگر aوbوc اعداد مثبت و حقیقی باشند ثابت کنید:

danialm · 1388/12/7

$\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+8ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\geq 1$

shoki · 1388/12/10

می توان فرض کرد

.تعریف کنید

و به راحتی نتیجه می شود که این تابع دارای تقعر رو به بالا در

است.حال نامساوی هم ارز است با :
[center:879f516ecc]

از ینسن نتیجه می شود :

[/center:879f516ecc][center:879f516ecc]

کافیست که ثابت شود :

حال با جای گذاری

و به همین ترتیب برای b و c باید ثابت کرد :

که همان AM-GM هست.

[/center:879f516ecc]

M_Sharifi · 1388/12/10

یه راه حل دیگه.
نابرابری مسئله را به فرم
[center:c5e3448c8d]

$\sum\frac{1}{\sqrt{1+\frac{8bc}{a^2}}}\geq1$

بازنویسی می کنیم. فرض می کنیم

$\frac{bc}{a^2}=\frac12(x^2+x),\quad\frac{ac}{b^2}=\frac12(y^2+y),\quad \frac{ab}{c^2}=\frac12(z^2+z)$

در این صورت

$xyz(x+1)(y+1)(z+1)=8$

و نابرابری مسئله به صورت

$\frac1{2x+1}+\frac1{2y+1}+\frac1{2z+1}\geq1$

در می آید. این نابرابری پس از ساده شدن به صورت

$x+y+z+1\geq4xyz$

در می آید. با توجه به فرض و طبق نابرابری میانگین حسابی-هندسی،

$xyz\leq1$

و لذا نابرابری فوق نیز برقرار است.

[/center:c5e3448c8d]

AHZolfaghari · 1393/5/13

پاسخ : اگر aوbوc اعداد مثبت و حقیقی باشند ثابت کنید:

با هولدر خیلی راحت تر حل میشود .