تابعی

MGH000 · 1393/7/15

تمام توابع f را بیابید که:

$f:\mathbb{R^{+}}\rightarrow \mathbb{R^{+}}$

$\forall x,y > 0 :f(x)f(y)=2f(x+yf(x))$

TheOverlord · 1393/7/15

پاسخ : تابعی

فرض كنيد

$P(x,y)$

نمايانگر رابطه مساله باشد.پس :

$P(x+zf(x),2y),P(x,z),P(x,z+yf(z)),P(y,z) \Rightarrow f(x)f(z)f(2y)=f(x+zf(x))f(2y)=2f(x+zf(x)+2yf(x+zf(x)))=2f(x+zf(x)+yf(x)f(z))=2f(x+f(x)(z+yf(z)))=f(x)f(z+yf(z))=f(x)f(y)f(z) \Rightarrow f(y)=f(2y)$

(در جمله اول و آخر تساوي يك ضريب ١/٢ جا انداخته شده)

حال فرض كنيد تابعي غير ثابت در مساله صدق كند. در اينصورت

$\exists x_0,y_0 \in \mathbb{R}^{+} : f(x_0)>f(y_0)$

اما بديهتا

$\exists n \in \mathbb{N} : 2^ny_0>x_0$

پس

$f(x)=f(2x) \Rightarrow f(y_0)=f(2^ny_0) <f(x_0) \Rightarrow P(x_0,\frac{2^ny_0-x_0}{f(x_0)-f(2^ny_0)}) , P(y_0,\frac{2^ny_0-x_0}{f(x_0)-f(2^ny_0)}) : f(x_0)f(\frac{2^ny_0-x_0}{f(x_0)-f(2^ny_0)})=f(x_0+\frac{2^ny_0-x_0}{f(x_0)-f(2^ny_0)}f(x_0))=f(2^ny_0+\frac{2^ny_0-x_0}{f(x_0)-f(2^ny_0)}f(2^ny_0))=f(2^ny_0)f(\frac{2^ny_0-x_0}{f(x_0)-f(2^ny_0)})\Rightarrow f(x_0)=f(2^ny_0)$

كه تناقض است پس تابع ثابت است و با جايگذاري متوجه ميشويم تابع ثابت 2 است.

تابعی

MGH000

New Member

TheOverlord

New Member