تابع ثابت f

mahdisaj · 1389/6/21

1) تابع

$f :\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$

دارای ویژگی های زیر است :
الف )

$f(0)=\frac{1}{2}$

ب ) عددی حقیقی مانند a وجود دارد که برای هر دو عدد حقیقی x,y داشته باشیم :

$f(x+y)=f(x)f(a-y)+f(y)f(a-x)$

ثابت کنید f تابعی ثابت است .

Gaara · 1389/6/27

از معادله ی سوال نتیجه میشود:

$f(0)=2f(0)f(a)\Rightarrow f(a)=f(0)\Rightarrow f(y)=f(0)f(a-y)+f(y)f(a)\Rightarrow f(y)=\frac{1}{2}f(a-y)+\frac{1}{2}f(y)\Rightarrow f(y)=f(a-y)$

$\Rightarrow f(x+y)=2f(x)f(y)\Rightarrow f(2a)=f(0)$

$\Rightarrow f(x)f(-x)=\frac{1}{4}$

$f(2a+x+y)=f(a+x)f(-y)+f(a+y)f(-x)=2f(-y)f(-x)\Rightarrow f(2a-x)=f(x)$

$f(x-a+y+a)=f(x-a)f(-y)+f(y+a)f(2a-x)=2f(x)f(-y)\Rightarrow f(x+y)=2f(x)f(-y)$

$f(x)=-\frac{1}{2}$

یا

$\Rightarrow f(x)=f(-x)\Rightarrow f(x)=\frac{1}{2}$

حال با یک برهان خلف به سادگی نتیجه میشود

$f(x)\neq -\frac{1}{2}$

farsam · 1389/7/5

خط دومت ایراد نداره؟