تابع وارون

mrbayat · 1389/9/6

ثابت کنید که توابع زیر وارون پذیرند و تابع وارون را به دست آورید:

[center:2c86930fc3]

$2)g(x)=x+[x]$

$1)f(x)=x^3+x$

[/center:2c86930fc3]
[center:2c86930fc3]

$3)h(x)=x+\sqrt{x}$

[/center:2c86930fc3]

diba1993 · 1389/9/7

1)بدليل سادگي اثبات وارون پذيري تابع فقط ضابطه تابع معكوس را بدست مي آوريم:
حل معادلات درجه سوم به فرم

$x^3+ax^2+bx+c=0$

به روشcardano:
ابتدا معادله را با يك تغيير متغير به معادله درجه سوم ناقص تبديل ميكنيم:

$x \to x-\frac{a}{3}\Rightarrow x^3+px+q=0$

حال اگر اعداد

$\alpha ,\beta$

وجود داشته باشند (كه وجود دارند) بطوريكه :

$\left\{\begin{matrix} \alpha +\beta =-q & \\ \alpha \beta =-\frac{p^3}{27}& \end{matrix}\right.$

$x=\sqrt[3]{\alpha }+\sqrt[3]{\beta }$

يكي از 3 ريشه خواهد بود:

$\alpha =\frac{\alpha +\beta }{2}+\frac{\alpha -\beta }{2}=\frac{-q}{2}+\sqrt{\frac{(\alpha +\beta)^2-4\alpha \beta }{4}}=\frac{-q}{2}+\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}$

$\beta =\frac{\alpha +\beta }{2}+\frac{\beta -\alpha }{2}=\frac{-q}{2}-\sqrt{\frac{(\alpha +\beta)^2-4\alpha \beta }{4}}=\frac{-q}{2}-\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}$

$D=(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3$

بنابراين ريشه هاي معادله

$x^3+px+q=0$

عبارتند از :

$\left\{\begin{matrix} A=\sqrt[3]{\frac{-q}{2}+\sqrt{D}}\\ B=\sqrt[3]{\frac{-q}{2}-\sqrt{D}}\\ x_1=A+B\\ x_2_,_3=-\frac{1}{2}(A+B)\pm i\frac{\sqrt{3}}{2}(A-B) \end{matrix}\right.$

معكوس تابع مورد نظر در واقع جواب معادله

$x^3+x-y=0$

يعني

$\left\{\begin{matrix} x=\sqrt[3]{\frac{y}{2}+\sqrt{D}}+\sqrt[3]{\frac{y}{2}-\sqrt{D}}& \\ D=(\frac{y}{2})^2+(\frac{1}{27})^3 & \end{matrix}\right.$

ميباشد.

تابع وارون

mrbayat

New Member

diba1993

New Member