تعداد جواب در مجموعه ...

rezashiri · 1389/2/5

همه ی جواب های معادله

$m^{n}=n^{m}$

در مجموعه اعداد .... را بیابید.

الف)طبیعی

ب)گویا

ج)گنگ؟

لطفا حل کنید.

M_Sharifi · 1389/2/5

چند جواب دارد یا همه ی جواب ها را به دست آورید؟

rezashiri · 1389/2/5

ببخشید !

سوال تصحیح شد.

M_Sharifi · 1389/2/7

برای قسمت طبیعی، ثابت کنید اگر

$m>n\geq3$

آن گاه

$n^m>m^n$

و نتیجه بگیرید که جواب های طبیعی معادله عبارتند از

[center:6586fa40b2]

$(k,k),(2,4),(4,2)$

برای قسمت حقیقی، فرض می کنیم

$m=nx$

، که

$x\in\Bbb R$

. در این صورت

$\150dpi (nx)^n=n^{nx}\Rightarrow x=n^{x-1}\Rightarrow n=x^{\frac1{x-1}}$

[/center:6586fa40b2]
پس جواب های معادله عبارتند از زوج های به فرم

$\150dpi \left(x^{\frac1{x-1}},x^{\frac{x}{x-1}} \right )$

و

$\150dpi \left(x^{\frac{x}{x-1}},x^{\frac1{x-1}} \right )$

، که

$x\in\Bbb R$

.
برای قسمت گویا، باید

$\150dpi x$

و

$\150dpi x^{\frac1{x-1}}$

اعدادی گویا باشند. فرض می کنیم

$x=\frac pq$

، که

$(p,q)=1$

و

$p>q>0$

(حالت

$p\leq q$

به طور مشابه قابل بررسی است). در این صورت

[center:6586fa40b2]

$x^{\frac1{x-1}}=\left(\frac pq \right )^{\frac q{p-q}}\in \Bbb Q$

و تنها زمانی این عدد گویا می شود که

$p,q$

توان های

$p-q$

ام کامل شوند (چراکه

$(p-q,q)=(p,q)=1$

). پس قرار می دهیم

$p=a^{p-q},\quad q=b^{p-q}$

که

$a,b\in\Bbb N$

. در این صورت

$a^{p-q}-b^{p-q}=p-q$

اما این رابطه تنها زمانی امکان پذیر است که

$p-q=1$

و نتیجتا

$a-b=1$

(در غیر این صورت، طرف سمت چپ، بزرگ تر می شود). بنابراین

$x=\frac{b+1}b\Rightarrow n=x^{\frac1{x-1}}=\left(\frac{b+1}b \right )^b,\quad m=\left(\frac{b+1}b \right )^{b+1}$

بنابراین به جواب

$(m,n)=\left(\left(\frac{b+1}b \right )^{b+1},\left(\frac{b+1}b \right )^b \right )$

می رسیم که

$b\in\Bbb N$

.

[/center:6586fa40b2]

تعداد جواب در مجموعه ...

rezashiri

Well-Known Member

M_Sharifi

راهبر ریاضی

rezashiri

Well-Known Member

M_Sharifi

راهبر ریاضی