Dadgarnia

New Member
ارسال ها
1,350
لایک ها
1,127
امتیاز
0
#1
خب من سوالای سال اولو میذارم و لطفا دوستان دوم و سومی که شرکت کردن هم سوالاشونو اینجا بذارن تا روی سوالات بحث کنیم:
1- نقطه
درون متوازی الاضلاع
انتخاب می شود به طوری که
. ثابت کنید پاره خط
بر پاره خطی که وسط پاره خط
را به وسط پاره خط
وصل می کند عمود است. (4 امتیاز)
2- یک منطقه حفاظت شده به شکل یک چند ضلعی غیر محدب است. این منطقه با یک حصار شفاف در طول محیطش محافظت می شود و در یک میدان مین احاطه شده است به گونه ای که یک جاسوس تنها می تواند در طول حصار حرکت کند. جاسوس یک بار دور منطقه حرکت میکند به طوری که منطقه همیشه در سمت راست اوست. یک خط مستقیم برق با 36 دکل این منطقه را قطع می کند که برخی از دکل ها درون منطقه و برخی بیرون از آن قرار دارند. خط برق از رئوس حصار عبور نمی کند. جاسوس هر بار که از خط برق عبور می کند تعداد دکل های سمت چپ خود را می شمارد (او می تواند همه ی دکل ها را ببیند). جاسوس به محض بازگشت به نقطه اولیه در مجموع 2015 دکل را شمرده است. تعداد دکل های درون حصار چند تا است؟ (6 امتیاز)
3- الف) اعداد صحیح مثبت
با رقم یکسانی شروع می شوند. آیا می توان نتیجه گرفت این رقم برابر یک است؟ (3 امتیاز)
ب) همین سوال را برای اعداد
جواب دهید. (4 امتیاز)
4- برای هر ضلع یک چند ضلعی خط شامل آن ضلع حداقل از یک راس دیگر این چند ضلعی عبور می کند. آیا ممکن است که تعداد رئوس این چند ضلعی،
الف) بیشتر از 9 نباشد؟ (4 امتیاز)
ب) بیشتر از 8 نباشد؟ (5 امتیاز)
5- الف) یک جدول
(که
) با اعداد به گونه ای پر شده است که جمع اعداد در همه ستون ها متفاوت است. ثابت کنید می توان اعداد را در جدول طوری جابجا کرد که جمع اعداد در همه ستون ها همچنان متفاوت باشد و علاوه بر آن جمع اعداد در همه سطر ها نیز متفاوت باشد. (3 امتیاز)
ب) یک جدول
با اعداد به گونه ای پر شده است که جمع اعداد در همه ستون ها متفاوت است. آیا همواره می توان اعداد را در جدول طوری جابجا کرد که جمع اعداد در همه ستون ها همچنان متفاوت باشد و علاوه بر آن جمع اعداد در همه سطر ها نیز متفاوت باشد؟ (6 امتیاز)
6- یک
ضلعی محدب با اضلاع برابر درون یک دایره واقع شده است. هر ضلع در هر دو جهت تا محل برخورد با دایره امتداد داده شده است به طوری که دو پاره خط در بیرون چند ضلعی تشکیل می دهد. ثابت کنید می توان این
پاره خط به وجود آمده را به دو دسته تقسیم کرد که مجموع طول پاره خط ها در دو دسته برابر باشد. (9 امتیاز)
7- پادشاهی 2015 جادوگر دارد . تعدادی از جادوگر ها خوب و تعدادی از آن ها بد هستند. اما پادشاه خوب یا بد بودن آن ها را نمی داند ولی هر جادوگر می داند کدام جادوگر خوب و کدام بد است! هر جادوگر خوب همواره راست می گوید اما جادوگر دروغ گو هم می تواند راست بگوید و هم دروغ! پادشاه تعدادی کارت را آماده می کند که روی هر کدام سوالی نوشته شده که می تواند برای جادوگرهای مختلف متفاوت باشد اما جواب جادوگر ها به سوالات فقط می تواند بله یا خیر باشد. بعد از این که پادشاه به پاسخ جادوگر ها گوش داد می تواند یکی از جادوگر ها را از دری جادویی بیرون کند. هنگامی که جادوگر ها از در جادویی خارج می شوند مشخص می شود که این جادوگر خوب است یا بد! و دوباره پادشاه سوالات دیگری را از جادوگر های دیگر می پرسد. سوال ها می تواند مشابه یا متفاوت باشد. در هر مرحله پادشاه می تواند جادوگری را از در اخراج کند و هم می تواند اخراج نکند. ثابت کنید پادشاه می تواند همه ی جادوگرهای بد را اخراج کند در حالی که حداکثر یک جادوگر خوب اخراج شود. (10 امتیاز)
 

حمید آنالیز

Well-Known Member
ارسال ها
1,351
لایک ها
1,322
امتیاز
113
#4
پاسخ : تورنمنت شهر ها 2015 سطح پیشرفته

خوب سوال یک از eخطهای موازیاضلاع میکشیم بعد ثابت میکنیم که دو جفت متوازی الاضلاع همنهشت داریم وبعد ثابت میکنیم که زاویه های متناطر همه ی متوازی الاضلاع ها برابرند و بعد برای اثبات اون که نوده باید ثابت کنیم اون دو خط دو نیمساز یا قطر متوازی الاضلاع هاست که بدیهیه!
 
ارسال ها
288
لایک ها
154
امتیاز
43
#5
پاسخ : تورنمنت شهر ها 2015 سطح پیشرفته

خب تقریبا اینا سوالات ما هم بود این دو هم بهش اضافه شد!
سوال 2ما :
در مثلث متساوی و ساقین (ABC (AB=AC نقطه ی x روی ضلع BC و نقاط P و Q به ترتیب روی AB و AC قرار دارند به طوری که APXQ یک متوازی الضلاع است.ثابت کنید قرینه ی نقطه ی X نسبت به خط PQ روی دایره ی محیطی مثلث قرار دارد
 

Dadgarnia

New Member
ارسال ها
1,350
لایک ها
1,127
امتیاز
0
#6
پاسخ : تورنمنت شهر ها 2015 سطح پیشرفته

خوب سوال یک از eخطهای موازیاضلاع میکشیم بعد ثابت میکنیم که دو جفت متوازی الاضلاع همنهشت داریم وبعد ثابت میکنیم که زاویه های متناطر همه ی متوازی الاضلاع ها برابرند و بعد برای اثبات اون که نوده باید ثابت کنیم اون دو خط دو نیمساز یا قطر متوازی الاضلاع هاست که بدیهیه!
ببخشید نفهمیدم! اگه میشه نامگذاری انجام بدین و روابطشو اینجا بنویسین.
 
ارسال ها
288
لایک ها
154
امتیاز
43
#7
پاسخ : تورنمنت شهر ها 2015 سطح پیشرفته

سوال پنج ما : آیا دو چند جمله ای وجود دارند که قدر مطلق ضرایب همه ی جمله ها در هر دو عبارت از 2015 بزرگ تر باشد و قدر مطلق ضرایب جملات چند جمله ای حاصل ضرب این دو چند جمله ای حداکثر یک شود؟

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوال 3 ما :
یک جدول n×2 داریم که n بزرگ تر از دو است. درون هر خانه از این جدول یک عدد قرار دارد. که حاصل جمع اعداد در هر ستون با ستون های دیگر متفاوت است. ثابت کنید همواره می توان راهی پیدا کرد که با عوض کردن جای این اعداد در جدول حاصل جمع اعداد در ستون ها همچنان متفاوت بماند و حاصل جمع اعداد در سطر ها نیز متفاوت شود. دو امتیاز
 

حمید آنالیز

Well-Known Member
ارسال ها
1,351
لایک ها
1,322
امتیاز
113
#8
پاسخ : تورنمنت شهر ها 2015 سطح پیشرفته

من روی سوال یکو نفهمیدم میشه شکل بفرستین؟!
 
ارسال ها
288
لایک ها
154
امتیاز
43
#9
پاسخ : تورنمنت شهر ها 2015 سطح پیشرفته

پس چی شد یکیشو جواب بدید;)
 

Sharifi_M

New Member
ارسال ها
561
لایک ها
348
امتیاز
0
#10
پاسخ : تورنمنت شهر ها 2015 سطح پیشرفته

سوال 5 الف:
خب توی اون جدول دو در n که مجموع اعداد هر ستون با دیگری متفاوت است اگر سطر ها هم مجموع متفاوتی داشته باشند حکم اثبات شدست پس حالت دیگر رو بررسی میکنیم: مجموع اعداد هر ستون با دیگری متفاوته ولی مجموع اعداد سطر اول با سطر دوم برابره:
خب اگر ما در این حالت دوم یک ستون داشته باشیم که دوتا عدد اون ستون یکی نباشند با عوض کردن جای این دوتا عدد میشه به حالت مورد نیاز مسئله رسید.
ولی یه مورد دیگم هست که دو عدد هر ستون با هم یکی باشند یعنی:

توی این حالت سه تا ستون رو انتخاب میکنیم(چون n بیشتر از 3 است پس میشه انتخاب کرد)
و اون ها رو به صورت زیر مرتب میکنیم:

(a_i>a_j>a_k)چون مجموع دو عدد هر ستون با اون یکی فرق داره پس a_i و a_j و a_k با هم برابر نیستند.
و در این حالت مجموع دو عدد هر یک از این ستون ها باز متفاوت و مجموع سطر ها هم متفاوت میشود.
تو جدول دومی تو ستون سوم جای دو تا عدد باید عوض شه!
 
آخرین ویرایش توسط مدیر

Dadgarnia

New Member
ارسال ها
1,350
لایک ها
1,127
امتیاز
0
#11
پاسخ : تورنمنت شهر ها 2015 سطح پیشرفته

من روی سوال یکو نفهمیدم میشه شکل بفرستین؟!
بفرمایید:


---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوال 5 الف:
خب توی اون جدول دو در n که مجموع اعداد هر ستون با دیگری متفاوت است اگر سطر ها هم مجموع متفاوتی داشته باشند حکم اثبات شدست پس حالت دیگر رو بررسی میکنیم: مجموع اعداد هر ستون با دیگری متفاوته ولی مجموع اعداد سطر اول با سطر دوم برابره:
خب اگر ما در این حالت دوم یک ستون داشته باشیم که دوتا عدد اون ستون یکی نباشند با عوض کردن جای این دوتا عدد میشه به حالت مورد نیاز مسئله رسید.
ولی یه مورد دیگم هست که دو عدد هر ستون با هم یکی باشند یعنی:

توی این حالت سه تا ستون رو انتخاب میکنیم(چون n بیشتر از 3 است پس میشه انتخاب کرد)
و اون ها رو به صورت زیر مرتب میکنیم:

(a_i>a_j>a_k)چون مجموع دو عدد هر ستون با اون یکی فرق داره پس a_i و a_j و a_k با هم برابر نیستند.
و در این حالت مجموع دو عدد هر یک از این ستون ها باز متفاوت و مجموع سطر ها هم متفاوت میشود.
تو جدول دومی تو ستون سوم جای دو تا عدد باید عوض شه!
الان شما این سه تا ستونو یا سه تا ستون دیگه که همین کارو باهاسون کردین اگه مقایسه کنید می بینید که مجموع ستونشون می تونه مساوی باشه!
 

Sharifi_M

New Member
ارسال ها
561
لایک ها
348
امتیاز
0
#12
پاسخ : تورنمنت شهر ها 2015 سطح پیشرفته

الان شما این سه تا ستونو یا سه تا ستون دیگه که همین کارو باهاسون کردین اگه مقایسه کنید می بینید که مجموع ستونشون می تونه مساوی باشه!
نمیتونه!
چون سه تا عدد a_i و a_j و a_k برابر نیستند
و a_i > a_j >a_k پس a_i+a_j>a_i+a_k>a_k+a_j

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

اگه منظورتون برابری با غیر این ستون هاست، اگه سه ستونی که مجموع کوچکتری نسبت به بقیه دارند رو انتخاب کنیم این اتفاق نمیفته.
نیازه اثبات کنم؟
 
ارسال ها
288
لایک ها
154
امتیاز
43
#13
پاسخ : تورنمنت شهر ها 2015 سطح پیشرفته

نظر من روی سوال 3 قسمت الف :
همه اعداد را می توان به شکل 10K+Nنوشت پس داریم

با یک تجقیق ساده متوجه میشویم که یا باید عبارت 20kn+n^2 کوچک تر از 100k^2 باشد که رقم اول 100k^2 با رقم اول 10k برابر شود یا اینکه 20kn+n^2 بتواند 100k^2 را آنقدر بزرگ کند که دوباره به رقم اول 10k برسیم با یک تحقیق ساده متوجه میشویم این کار غیر ممکن است. پس سراغ شرط اول می رویم یعنی :

پس در این صورت علامت x^2 را 100k^2 تعیین می کند پس رقم اول این عدد k^2 می شود از طرفی رقم اول عدد مورد نظر ما k بوده است پس برای این که این دو برابر شوند داریم :

پس قدر مطلق k یا 1 است یا 0 که واضح است به ازای k=0 هیچ عددی این خاصیت را ندارد پس k= 1
برای x^3 هم می توان به صورت بالا عمل کرد و نامساوی بالا را تشکیل داد که نتیجه میشود 1000k^3 برابر k است پس k=1 است

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----


همه اعداد را می توان به شکل 10K+Nنوشت پس داریم

با یک تجقیق ساده متوجه میشویم که یا باید عبارت 20kn+n^2 کوچک تر از 100k^2 باشد که رقم اول 100k^2 با رقم اول 10k برابر شود یا اینکه 20kn+n^2 بتواند 100k^2 را آنقدر بزرگ کند که دوباره به رقم اول 10k برسیم با یک تحقیق ساده متوجه میشویم این کار غیر ممکن است. پس سراغ شرط اول می رویم یعنی :

پس در این صورت علامت x^2 را 100k^2 تعیین می کند پس رقم اول این عدد k^2 می شود از طرفی رقم اول عدد مورد نظر ما k بوده است پس برای این که این دو برابر شوند داریم :

پس قدر مطلق k یا 1 است یا 0 که واضح است به ازای k=0 هیچ عددی این خاصیت را ندارد پس k= 1
برای x^3 هم می توان به صورت بالا عمل کرد و نامساوی بالا را تشکیل داد که نتیجه میشود 1000k^3 برابر k است پس k=1 است

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

اونجا که نوشتم یعنی نمی دونم چرا ننوشته اینو نوشتم بعد اونجا :
 

Sharifi_M

New Member
ارسال ها
561
لایک ها
348
امتیاز
0
#14
پاسخ : تورنمنت شهر ها 2015 سطح پیشرفته

وقتی میگه با رقم یکسانی شروع میشود یعنی کدوم طرف؟ :4:
اگه یکانه، اعدادی که یکان 5 و 6 و 0 داشته باشند(مثال نقض) به هر توانی برسند همون یکانو داردو اگر منظور رقمیه که بیشترین ارزش مکانی رو داره میشه یه مثال نقض آورد:
999 998001 997002999
که اگر بجای ایکس بزاریم 999 این میشه نتیجه.
 
ارسال ها
288
لایک ها
154
امتیاز
43
#15
پاسخ : تورنمنت شهر ها 2015 سطح پیشرفته

اای بابا چرا نمیشه نوشتم که :
k^2 بزرگ تر از 20kn+n^2 است

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

درسته پس فکنم اون شرط دوم که گذاشتم بعضی جاها صدق میکنه چون نتونستم با اثبات ردش کنم
 

Dadgarnia

New Member
ارسال ها
1,350
لایک ها
1,127
امتیاز
0
#16
پاسخ : تورنمنت شهر ها 2015 سطح پیشرفته

نمیتونه!
چون سه تا عدد a_i و a_j و a_k برابر نیستند
و a_i > a_j >a_k پس a_i+a_j>a_i+a_k>a_k+a_j

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

اگه منظورتون برابری با غیر این ستون هاست، اگه سه ستونی که مجموع کوچکتری نسبت به بقیه دارند رو انتخاب کنیم این اتفاق نمیفته.
نیازه اثبات کنم؟
نه ديگه الان درست شد!
راه سوال 2 (هندسه):
قرينه ي
نسبت به
رو
مي ناميم. واضحه كه
پس
از طرف ديگه چون
روي عمود منصف
هست بدست مياد
پس
مركز دايره ي محيطي مثلث
هست پس داريم:

به همين ترتيب بدست مياد
پس داريم:
كه معادل حكم مسئله است.
 
ارسال ها
288
لایک ها
154
امتیاز
43
#17
پاسخ : تورنمنت شهر ها 2015 سطح پیشرفته

رو سوال هندسه ما فکر کنید ببینید به نتیجه میرسید من تا یه جایی پیش رفتم2:21:

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

رو سوال هندسه ما فکر کنید ببینید به نتیجه میرسید من تا یه جایی پیش رفتم2:21:

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوال سختی بود پنج امتیاز داشت
 

Dadgarnia

New Member
ارسال ها
1,350
لایک ها
1,127
امتیاز
0
#18
پاسخ : تورنمنت شهر ها 2015 سطح پیشرفته

رو سوال هندسه ما فکر کنید ببینید به نتیجه میرسید من تا یه جایی پیش رفتم2:21:

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

رو سوال هندسه ما فکر کنید ببینید به نتیجه میرسید من تا یه جایی پیش رفتم2:21:

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوال سختی بود پنج امتیاز داشت
من كه راه حلشو تو پست قبليم گذاشتم!
 
ارسال ها
288
لایک ها
154
امتیاز
43
#19
پاسخ : تورنمنت شهر ها 2015 سطح پیشرفته

نه ديگه الان درست شد!
راه سوال 2 (هندسه):
قرينه ي
نسبت به
رو
مي ناميم. واضحه كه
پس
از طرف ديگه چون
روي عمود منصف
هست بدست مياد
پس
مركز دايره ي محيطي مثلث
هست پس داريم:

به همين ترتيب بدست مياد
پس داريم:
كه معادل حكم مسئله است.
عالی بود مرسی

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

البته فک کنم از یه راه دیگه بشه رفت اگه تونستم اثبات کنم میذارم
 

Dadgarnia

New Member
ارسال ها
1,350
لایک ها
1,127
امتیاز
0
#20
پاسخ : تورنمنت شهر ها 2015 سطح پیشرفته

كسي در مورد سوال شش نظري نداره؟
 
بالا