خط سیمسون گذرا از نقطه ی فوئرباخ

[hkh74]

O مرکز دایره ی محیطی و i مرکز دایره ی محاطی مثلث ABC است.
T قرینه ی مرکز ارتفاعی نسبت به نقطه ی فوئرباخ و M و N محل های برخورد OI با دایره ی محیطی اند.
P نقطه ای دلخواه روی محیط دایره است.
ثابت کنید خط سیمسون نظیر نقطه ی P نسبت به مثلث ABC از نقطه ی فوئرباخ آن مثلث عبور می کند اگر و فقط اگر P بر M یا N یا T منطبق باشد.

 

[mahanmath]

پاسخ : خط سیمسون گذرا از نقطه ی فوئرباخ

قضیه ۱.خط سیمسن به قطب P نسبت به مثلث ABC از وسط PH می‌گذرد.
قضیه ۲.زاویه بین ۲ خط سیمسن به قطب‌های P ، Q برابر نصف کمان PQ است .
(اثبات هر ۲ قضیه در کتاب هندسه مسطحه کرت هست .)
حالا در مساله خودمون اول ثابت می‌کنیم که سیمسن‌های به قطب نقاط M,N,T (که من اون هارو به اسم 'X ، Y ، H تو شکل نشون دادم) از نقطه فورباخ میگذرند . مثلا این حکم با توجه به قضیه یک برای نقطه H بدیهیست . برای ۲ نقطه دیگه اثبات شدن حکم نیاز به قضیه ۲ و این نکته داره که فورباخ درواقع مرکز تجانس داخلی‌ (I) ، (N) است .

اما قسمت جالب این مساله اون جایی که میخوایم ثابت کنیم این نقاط تنها نقاط با این ویژگی‌‌ها هستند .
یه نقطه دلخواه مثل Q درون مثلث در نظر بگیرید . میخوایم تعداد نقطه‌های مثل P روی دایره محیطی‌ ABC رو پیدا کنیم که سیمسن P از Q بگذره . یکی‌ از این نقاط طبق قضیه ۱ ممکنه بشه قرینه Q نسبت به H . پس فرض کنید P روی خط QH نباشه . در این صورت از خط سیمسن P دو نقطه رو داریم ، یکی‌ وسط PH یکی‌ هم خود Q . همچنین این خط باید از تصویر P روی BC هم بگذره . خوب حالا اگه یه معادله خط ساده (مختلط یا دکارتی فرقی نداره) بنویسید می‌بینید که بر حسب P درجه ۲ ، پس حداکثر ۲ جواب داره .

 

[hkh74]

پاسخ : خط سیمسون گذرا از نقطه ی فوئرباخ

طبق قضیه ی 2 خطوط سیمسون نظیر نقاط x و y برهم عمودند، اما چرا هرکدام oi را روی دایره ی محاطی قطع می کنند؟ (در واقع برای اینکه ثابت کنیم خط سیمسون x از نقطه ی فوئرباخ(مرکز تجانس) می گذرد، باید ثابت کنیم از نقاط متجانس ( x1 ) و (محل برخورد oi با دایره ی محاطی) می گذرد و فقط عمود بودن خطوط سیمسون کافی نیست)
اگر ممکنه این قسمت مسئله رو (که خطوط سیمسون x و y از نقطه ی فوئرباخ می گذرند) بیشتر توضیح بدید.

 

[mahanmath]

پاسخ : خط سیمسون گذرا از نقطه ی فوئرباخ

AoPS Forum - Simson Line Property • Art of Problem Solving
چندین بار بخونیدش ! :157: