دایره نه نقطه

math-sina · 1390/11/4

از وسط هر ضلع یک مثلث، خطی موازی با نیسماز خارجی زاویه رو به رو به این ضلع رسم می کنیم. ثابت کنید دایره ی نه نقطه ی مثلث به دست آمده همان دایره نه نقطه ی مثلث اولیه است.

mahanmath · 1390/11/4

پاسخ : دایره نه نقطه

فرض کنید

$I_a , I_b, I_c$

مراکز محاطی خارجی‌ باشند . مرکز ثقل

$\triangle ABC$

رو هم مثل همیشه بهش میگیم

$G$

:98:!

$\Psi$

یه تجانس به مرکز

$G$

و ثابت

$\frac{-2}{3}$

است. ادّعا اینه که مثلث

$\bigtriangleup \Psi (I_a)\Psi (I_b)\Psi (I_c)$

همان مثلثیست که ما با اون خط‌های موازی ساخته بودیمش . خوب چرا ؟ اگه

$M$

وسط

$BC$

باشه ، داریم :

$A \in I_b I_c \Rightarrow M=\Psi (A) \in \Psi (I_b I_c)$

حالا اینکه چرا مثلث

$\triangle \Psi (A)\Psi (B)\Psi (C)$

می‌شه مثلث پادک

$\bigtriangleup \Psi (I_a)\Psi (I_b)\Psi (I_c)$

از این نتیجه می‌شه :

$AI_a \perp I_b I_c \Rightarrow \Psi (AI_a) \perp \Psi (I_b I_c)$

دایره نه نقطه

math-sina

New Member

mahanmath

New Member