دو دنباله از اولین رقم سمت چپ

armath · 1389/5/13

دنباله ی

$\{a_n\}_{n=1}^{\infty}=\{2,4,8,1,3,6,...\}$

را شامل اولین رقم از سمت چپ توان های دو در مبنای ده در نظر بگیرید.دنباله ی

$\{b_n\}_{n=1}^{\infty}=\{5,2,1,6,3,1,...\}$

را نیز شامل اولین رقم از سمت چپ توان های پنج در مبنای ده در نظر بگیرید. ثابت کنید برای هر تعداد عضو متوالی دلخواه از دنباله ی

$\{a_n\}$

می توان به همان تعداد عضو متوالی دلخواه از دنباله

$\{b_n\}$

طوری انتخاب کرد که این عضو های انتخاب شده دقیقا همان گروه انتخاب شده از دنباله ی اول ولی با ترتیب عکس باشند.

azfandak · 1389/5/13

می تونم بپرسم این سوال رو از کجا پیدا کردی؟؟
سعی می کنم روش فکر کنم شاید ایده ی به درد بخوری به ذهنم اومد برات حتما می گم

armath · 1389/5/13

سوال ساده ای نیست. امیدوارم صورت سوال رو خوب فهمیده باشید. منبع سوال هم

$\mathit{Secret}$

می باشد.

M_Sharifi · 1389/5/22

فرض کنید می خواهیم دنباله ی

$5^{m-1},5^{m-2},\ldots,5^{m-k}$

را متناظر با دنباله ی

$2^{n+1},2^{n+2},\ldots,2^{n+k}$

طوری پیدا کنیم که سمت چپ ترین رقم

$2^{n+i}$

و

$5^{m-i}$

(

$i=1,2,\ldots,k$

) یکسان باشد.
برای این که رقم های شروع

$5^{m-i}$

و

$2^{n+i}$

یکسان باشد، کافی است به ازای عددی طبیعی مانند

$k_i$

،

[center:355aa5bc10]

$2^{n+i}\cdot 10^{k_i}<5^{m-i}<(2^{n+i}+1)\cdot 10^{k_i}$

و یا به صورت معادل

$10^{k_i}<\frac{5^{m-i}}{2^{n+i}}< \left(1+\frac1{2^{n+i}}\right)\cdot 10^{k_i}$

یا

$\{(m-i)\log5-(n+i)(1-\log5)\}=\left\{\log \left(\frac{5^{m-i}}{2^{n+i}}\right)\right\}< \log \left(1+\frac1{2^{n+i}}\right)$

[/center:355aa5bc10]

یعنی
[center:355aa5bc10]

$\{(m+n)\log 5\}< \log \left(1+\frac1{2^{n+i}}\right)$

فرض کنید

$L=\min_{1\leq i\leq k} \left\{\log \left(1+\frac1{2^{n+i}}\right)\right\}$

. در این صورت کافی است مقدار

$m$

را طوری بیابیم که

$\{(m+n)\log 5\}< L$

. برای این منظور فرض کنید

$s$

عددی طبیعی است که

$\frac1s<L$

. در میان اعداد

$\{n\log 5\},\{(n+1)\log 5\},\ldots,\{(n+s)\log 5\}$

طبق اصل لانه کبوتری و با توجه به گنگ بودن

$\log 5$

، دو تا از این اعداد در بازه ای به شکل

$\left(\frac{a-1}s,\frac as\right)$

قرار می گیرند، که

$1\leq a\leq s$

. در این صورت تفاضل این اعداد، به فرم

$\{u\log 5\}$

و کم تر از

$\frac 1s$

است. ضمن این که می توان بی نهایت مقدار برای

$u$

پیدا کرد. حال کافی است مقدار

$m$

را برابر

$u-n$

انتخاب کنیم که

$u$

بزرگ تر از

$n+k$

باشد.

[/center:355aa5bc10]

دو دنباله از اولین رقم سمت چپ

armath

New Member

azfandak

New Member

armath

New Member

M_Sharifi

راهبر ریاضی