دو نقطه روی دو ضلع یک مربع

math-sina · 1392/10/13

نقطه های M و N را روی ضلع های AB و CD از مربع ABCD انتخاب کرده ایم. پاره خط های راست CM و BN یکدیگر را در نقطه ی P و پاره خط های AN و MD یکدیگر را در Q قطع کرده اند.

ثابت کنید :

$PQ \geq \frac{1}{2} AB$

ash1374 · 1392/10/15

پاسخ : دو نقطه روی دو ضلع یک مربع

از p,q بر ab دو تا عمود رسم کنید تا در hو h' بر ab عمود بشن. ثابت کنید hh'>1/2 ab

ash1374 · 1392/10/16

پاسخ : دو نقطه روی دو ضلع یک مربع

پای عمود وارد از Q,P بر AB رو به ترتیب E,F و پای عمودشون بر CD رو به ترتیب G,H بگیرید. نسبت تشابه AQM به DQN رو برابر

$\alpha$

و نسبت تشابه MPB به NPC رو

$\beta$

بگیرید. حالا برای سهولت محاسبه، قرار بدین

$AE=x , BF=y$

بنابر این

$DG=x,CH=y$

طبق تشابه ها داریم

$EM = \frac{x}{\alpha } , GH=\alpha x$

و همینطور

$FM = \frac{y}{\beta },HN = \beta y$

واضحه که

$EF=\frac{x}{\alpha }+\frac{y}{\beta }, GH = \alpha x + \beta y$

و EF = GH = z ما برای اثبات حکم کافیه ثابت کنیم

$z\geq x+y$

که این هم یه کوشیه:

$z=\sqrt{z^{2}}=\sqrt{EF\times GH}=\sqrt{(\frac{x}{\alpha }+\frac{y}{\beta })(\alpha x+\beta y)}\geq \sqrt{(x+y)^{2}}=x+y$

دو نقطه روی دو ضلع یک مربع

math-sina

New Member

ash1374

New Member

ash1374

New Member