رابطه ای در مورد ب.م.م

M_Sharifi · 1389/2/19

یه سوال:
فرض کنید

$n$

عددی طبیعی و بزرگ تر از 1 است و

$S=\{2,3,\ldots,n\}$

. برای هر زیرمجموعه ی ناتهی

$A$

از

$S$

فرض کنید

$\pi(A)=\prod_{j\in A}j$

. ثابت کنید اگر

$k$

عددی طبیعی باشد که

$k<n$

، آن گاه

[center:4b41c7247f]

$\prod_{i=k}^n\mathbf{lcm}(1,2,\ldots,\lfloor \frac ni\rfloor)=\gcd(\{\pi(A): |A|=n-k\})$

توجه کنید که در حالت خاص

$k=1$

به رابطه ی معروف

$\prod_{i=1}^n\mathbf{lcm}(1,2,\ldots,\lfloor \frac ni\rfloor)=n!$

می رسیم.

[/center:4b41c7247f]