راهنمایی برای سوال 20 بخش 3 کتاب نظریه اعداد میرزاخانی

pooya.1999 · 1393/9/28

سلام دوستان؛متن سوال:

فرض کنید

$n$

عددی طبیعی و

$n \geq 5$

و

$k + 1$

کوچکترین عدد اول بزرگتر از

$n$

باشد.ثابت کنید

$n!$

بر اعداد

$1,2, .... ,k$

بخشپذیر است.

اثبات نیمه کامل من:
من فقط راهنمایی می خوام تا اثباتمو تکیمیل کنم.

اگر k کوچکتر از n باشد به وضوح حکم نتیجه می شود پس فرض می کنم k بین n و k+1 باشد و درست اعداد

$n+1,n+2, ... , k$

بین n و k+1 باشند.در تجزیه

$n+j$

به عامل های اول تمامی عامل ها از n کوچکترند چراکه k+1 اولین عدد اول بعد از n است و تمامی اعداد اول کوچتر از این عدد اول از n کوچکترند پس به وضوع !n بر تمامی این اعداد اول بخشپذیر است...

حالا برای اینکه ثابث کنم نمای این عامل ها در !n بزرگتر-مساوی نمای عامل ها در تجزیه n+j است باید چیکار کنم؟
تو کتاب مریم میرزاخانی هم راهنمایی کرده که می تونید از قضیه چبیشف استفاده کنید.

REZA 73 · 1393/9/28

پاسخ : راهنمایی برای سوال 20 بخش 3 کتاب نظریه اعداد میرزاخانی

pooya.1999 گفت

بدیهیه که اعداد n+1 تا k همه مرکبند پس اگه اون ها رو به صورت حاصل ضرب دو تا عدد بنویسیم که یکیشون عددی اول باشه اون وقت ثابت میکنیم عدد دیگر حداکثر مقدار n میگیرد:

$n< k+1< 2n\Rightarrow \frac{k+1}{2}< n$

یعنی :

$m=px$

که p اوله و ثابت کردیم x از n کوچکتره پس در حالتی که

$p\neq x$

مساله حله پس فقط میمونه وقتی که p و x مساویند که حالا ثابت میکنیم که بین اعداد 1 تا n یه عدد دیگه هم هست که عامل p داره در غیر اونصورت

$\frac{n}{2}< p< n\Rightarrow p^2> \frac{n^2}{4}\geq 2n$

که به ازای n های بیشتر 8 برقراره و به وضوح تناقضه چون

$m=p^2< 2n$

.
به ازای n مساوی 6 و 7 و 5 هم میشه به راحتی مساله رو چک کرد.

pooya.1999 · 1393/9/28

پاسخ : راهنمایی برای سوال 20 بخش 3 کتاب نظریه اعداد میرزاخانی

ببخشید میشه بیشتر توضیح بدید؟
ایده راحل حلتون رو فهمیدم؛چون اگه حداکثر مقدار n بگیره هم p تو !n هست و هم n پس حکم ثابته ولی بقیه راه حلتون رو زیاد متوجه نشدم.
و اینکه مگه صورت قضیه چبیشف

$n<p<2n-2$

نیست شما چرا بجای استفاده از 2n-2 نوشتید 2n ؟

REZA 73 · 1393/9/28

پاسخ : راهنمایی برای سوال 20 بخش 3 کتاب نظریه اعداد میرزاخانی

pooya.1999 گفت

خب وقتی p از 2n-2 کوچکتره از 2n هم کوچکتره!!
اگه منظورتون اینه که چرا

$\frac{n}{2}< p< n$

به خاطر اینه که در غیر این صورت

$2p< n$

و این یعنی یه عدد دیگه هم بین 1 تا n عامل p داره.

pooya.1999 · 1393/9/29

پاسخ : راهنمایی برای سوال 20 بخش 3 کتاب نظریه اعداد میرزاخانی

REZA 73 گفت

اوخ راست میگید من یه لحظه با 2n + 2 اشتباه گرفتم...
خیلی ممنون شمای کلی راه حلتون رو فهمیدم سعی می کنم واسه خودم تجزیه تحلیل کنم و اثبات رو کامل کنم؛سوالی داشتم می پرسم

راهنمایی برای سوال 20 بخش 3 کتاب نظریه اعداد میرزاخانی

pooya.1999

New Member

REZA 73

Active Member

pooya.1999

New Member

REZA 73

Active Member

pooya.1999

New Member