سؤالی زیبا و سخت

amir.ekhlasi · 1390/4/7

فرض کنید به ازای هر

$n$

طبیعی،

$S_n=\{1,...,n\}$

. همچنین فرض کنید

$A_n$

مجموعه تمام اعداد طبیعیی مانند

$m$

باشد به طوری که تابعی به شکل

$f:S_n \times S_n \times S_m \to S_n$

وجود داشته باشد که دارای دو خاصیت زیر است:
1- به ازای هر

$i \in S_n$

و

$k \in S_m$

داشته باشیم

$f(S_n \times \{i\} \times \{k\})=f(\{i\} \times S_n \times \{k\})=S_n$

.
2- به ازای هر دو عدد متمایز

$k,l \in S_m$

، داشته باشیم

$\{(f(i,j,k),f(i,j,l))\ \ | \ \ i,j \in S_n\}=S_n \times S_n$

.
الف) ثابت کنید

$A_n \subseteq S_{n-1}$

ب) برای هر عدد اول

$p$

ثابت کنید

$A_p=S_{p-1}$

.