سه میانه در هر مثلث همرسند

[khashentroy]

سلام به همه

اگه کسی می تونه برام اثبات کنه که:
سه میانه در هر مثلث همرسند
خواهشا سری جواب بدید

 

[armath]

این یکی هم چند تا روش داره: 1-تشابه 2-بردار 3- سوا.
راهنمایی برای تشابه: ثابت کن که دو تا میانه همدیگرو به نسبت یک به دو قطع میکنند.

 

[khashentroy]

داداش می شه برام ثابتش کنی؟

 

[armath]

اگر M,N وسط های AB,AC باشند و K محل برخورد BN,CM، ثابت کنید MNK~BCK

 

[khashentroy]

مرسی فقط می شه ی
می شه یه شکل برام بکشی که ببینم a b c m n کجاست

 

[AidinT]

یه اثبات قشنگ دیگه ای هم داره، به این صورت:

در شکل بالا میانه های BMb و CMc رو رسم کردیم. از A به M و از M به Ma وصل می کنیم. حالا باید ثابت کنیم AM و MMa با هم در یک امتدادند، چون BM و MMb با هم در یک امتدادن، پس کافیه ثابت کنیم

حالا طبق قضیه ی تالس داریم

و از موازی بودن دو خط داریم:

و همچنین از قبل ثابت کردیم:

حاذلا با تناسب دو ضلع و زاویه ی بین

پس

در نتیجه AM و MMa با هم در یک امتدادن! از طرفی این خط راست میانه ی BC هست و در نتیجه سه میانه در یک نقطه همرسند!