سوالات ریاضی تقریبا سخت

alich100 · 1391/6/8

سلام دوستان این چنتا سوالو هر کاری می کنم حل نمیشن اگه میشه راهنماییم کنید (این سوالا با نماد های معمول نوشته شده اند از نماد های اوی بزرگ و کوچک هم استفاده شده)
1-اگر

$x\geq 2$

ثابت کنید

$\sum_{n=1}^{\left \lfloor x \right \rfloor} \frac{1}{\varphi(n) }=O(log x)$

2-به فرض آنکه h و k اعداد صحیح فرد مثبتی بوده و

$(h,k)=1$

قرار دهید

$a=\frac{k-1}{2},b=\frac{h-1}{2}$

الف) ثابت کنید

$\sum_{r=1}^{a}\left \lfloor \frac{hr}{k} \right \rfloor+\sum_{r=1}^{b}\left \lfloor \frac{kr}{h} \right \rfloor=ab$

ب)نتیجه را برای

$(h,k)=d$

نیز بدست آورید
در راهنماییش استفاده از نقاط مشبکه آمده

3-ثابت کنید که:
اگر

$x\geq 2$

آنگاه

$\int_{2}^{x}\frac{dt}{log^nt}=O(\frac{x}{log^nt})$

4-فرض کنید f یک تابع حسابی باشد بطوریکه

$x\geq 2\Rightarrow \sum_{p\leq x}f(p)log(p)=(ax+b)log(x)+cx+O(1)$

ثابت کنید ثابتی مانند a (وابسته به f ) وجود دارد بطوریکه (البته اون a که تنها هست با اونیکی a ها فرق داره و اون ثابته یعنی اونی که در خط دوم اولین حرفه با همه ی a های دیگه فرق داره)

$x\geq 2\Rightarrow \sum_{p\leq x}f(p)=ax+(a+c)(\frac{x}{log(x)}+\int_{2}^{x}\frac{dt}{log^2(t)})+b(log(log(x)))+a+O(\frac{1}{log(x)})$

اگه میشه یکم هم راجع به اوی کوچک توضیح دهید آیا میشه مثل اوی بزرگ باهاش رفتار کرد؟ میشه تبدیل به اوی بزرگش کرد؟ و ...

alich100 · 1391/6/8

پاسخ : سوالات ریاضی تقریبا سخت

کسی راهنمایی نمیکنه؟!
راستی یه سوال گراف هم داشتم
اگر 'گراف دوبخشی بوده و k-منتظم باشد ثابت کنید یال برشی ندارد(k بزرگتر 2 است و فرد است)

ehsan-mokhtarian · 1391/6/8

پاسخ : سوالات ریاضی تقریبا سخت

برهان خلف:
فرض کن uv یال برشی باشه ( u در بخش 1 و v در بخش 2 ) حالا مولفه همبندی که u جزو اون هست رو در نظر بگیر (فرض کن A راس های این مولفه که در بخش 1 هست (u رو حساب نمی کنیم) و B بخش راس های این مولفه در بخش 2 )

$\left | A \right |=a , \left | B \right |=b$

واضحه که تمام یال های متصل به u در بخش B هست حال 2 جور یال های این مولفه رو می شماریم (1 بار از بخش 1 و یه بار از بخش 2 ) که این نتیجه می ده:

$e= kb = (k-1)+ka \Rightarrow k|k-1$

که این تناقضه...
فقط یه نکته : از فرد بودن k استفاده ای نشد ... :223:

alich100 · 1391/6/8

پاسخ : سوالات ریاضی تقریبا سخت

حالا اگه میشه این سوالا رو جواب بدید

سلام دوستان این چنتا سوالو هر کاری می کنم حل نمیشن اگه میشه راهنماییم کنید (این سوالا با نماد های معمول نوشته شده اند از نماد های اوی بزرگ و کوچک هم استفاده شده)
1-اگر

$x\geq 2$

ثابت کنید

$\sum_{n=1}^{\left \lfloor x \right \rfloor} \frac{1}{\varphi(n) }=O(log x)$

2-به فرض آنکه h و k اعداد صحیح فرد مثبتی بوده و

$(h,k)=1$

قرار دهید

$a=\frac{k-1}{2},b=\frac{h-1}{2}$

الف) ثابت کنید

$\sum_{r=1}^{a}\left \lfloor \frac{hr}{k} \right \rfloor+\sum_{r=1}^{b}\left \lfloor \frac{kr}{h} \right \rfloor=ab$

ب)نتیجه را برای

$(h,k)=d$

نیز بدست آورید
در راهنماییش استفاده از نقاط مشبکه آمده

3-ثابت کنید که:
اگر

$x\geq 2$

آنگاه

$\int_{2}^{x}\frac{dt}{log^nt}=O(\frac{x}{log^nt})$

4-فرض کنید f یک تابع حسابی باشد بطوریکه

$x\geq 2\Rightarrow \sum_{p\leq x}f(p)log(p)=(ax+b)log(x)+cx+O(1)$

ثابت کنید ثابتی مانند a (وابسته به f ) وجود دارد بطوریکه (البته اون a که تنها هست با اونیکی a ها فرق داره و اون ثابته یعنی اونی که در خط دوم اولین حرفه با همه ی a های دیگه فرق داره)

$x\geq 2\Rightarrow \sum_{p\leq x}f(p)=ax+(a+c)(\frac{x}{log(x)}+\int_{2}^{x}\frac{dt}{log^2(t)})+b(log(log(x)))+a+O(\frac{1}{log(x)})$

اگه میشه یکم هم راجع به اوی کوچک توضیح دهید آیا میشه مثل اوی بزرگ باهاش رفتار کرد؟ میشه تبدیل به اوی بزرگش کرد؟ و ...

orion · 1391/6/8

پاسخ : سوالات ریاضی تقریبا سخت

alich100 گفت

سلام دوستان این چنتا سوالو هر کاری می کنم حل نمیشن اگه میشه راهنماییم کنید (این سوالا با نماد های معمول نوشته شده اند از نماد های اوی بزرگ و کوچک هم استفاده شده)
1-اگر

$x\geq 2$

ثابت کنید

$\sum_{n=1}^{\left \lfloor x \right \rfloor} \frac{1}{\varphi(n) }=O(log x)$

2-به فرض آنکه h و k اعداد صحیح فرد مثبتی بوده و

$(h,k)=1$

قرار دهید

$a=\frac{k-1}{2},b=\frac{h-1}{2}$

الف) ثابت کنید

$\sum_{r=1}^{a}\left \lfloor \frac{hr}{k} \right \rfloor+\sum_{r=1}^{b}\left \lfloor \frac{kr}{h} \right \rfloor=ab$

ب)نتیجه را برای

$(h,k)=d$

نیز بدست آورید
در راهنماییش استفاده از نقاط مشبکه آمده

3-ثابت کنید که:
اگر

$x\geq 2$

آنگاه

$\int_{2}^{x}\frac{dt}{log^nt}=O(\frac{x}{log^nt})$

4-فرض کنید f یک تابع حسابی باشد بطوریکه

$x\geq 2\Rightarrow \sum_{p\leq x}f(p)log(p)=(ax+b)log(x)+cx+O(1)$

ثابت کنید ثابتی مانند a (وابسته به f ) وجود دارد بطوریکه (البته اون a که تنها هست با اونیکی a ها فرق داره و اون ثابته یعنی اونی که در خط دوم اولین حرفه با همه ی a های دیگه فرق داره)

$x\geq 2\Rightarrow \sum_{p\leq x}f(p)=ax+(a+c)(\frac{x}{log(x)}+\int_{2}^{x}\frac{dt}{log^2(t)})+b(log(log(x)))+a+O(\frac{1}{log(x)})$

اگه میشه یکم هم راجع به اوی کوچک توضیح دهید آیا میشه مثل اوی بزرگ باهاش رفتار کرد؟ میشه تبدیل به اوی بزرگش کرد؟ و ...

ببخشید این o چیه؟؟؟

AlimA · 1391/6/8

پاسخ : سوالات ریاضی تقریبا سخت

orion گفت

Big O notation - Wikipedia, the free encyclopedia
من نمیدونستم ریاضی ها هم به O نیاز دارن !

zz_torna2 · 1391/6/15

پاسخ : سوالات ریاضی تقریبا سخت

alich100 گفت

دراین جا منظورتون لگاریتم n در مبنا t است یا لگاریتم t به توان n (در این صورت مبنا چیه)

من این سوال رو برای حالت لگاریتم t در مبنای e و کل لگاریتم به توان n ثابت کردم.

alich100 · 1391/6/15

پاسخ : سوالات ریاضی تقریبا سخت

آره همونی که اثبات کردی رو بگو!!

zz_torna2 · 1391/6/16

پاسخ : سوالات ریاضی تقریبا سخت

alich100 گفت

راستش فعلا من اینو برای n>=3 ثابت کردم:

من برای اثبات از تعریف O استفاده کردم پس کافی و لازم ثابت کنیم:وجود دارد M>0 که برای هر x>=2:

$\int_{2}^{x}\frac{1}{{(lnt})^{n}}dt\leq M\frac{x}{(lnt)^{n}}$

با توجه به تعریف انتگرال ما میدونیم که :

$x,t\in [2,b]or[2,+ \infty )$

حالا انتگرال چپی رو با روش جزء به جزء و تغییر متغیر میگیریم :

$\int_{2}^{x}\frac{1}{(lnt)^{n}}dt=\int \frac{1}{(lnx)^{n}}dx-c(c\in R)\overset{\underset{\mathrm{lnx=u}} {}}{=}\int \frac{x{u}'}{(u)^{n}}dx-c=x \int \frac{{u}'}{(u)^{n}}dx-\int[ {x}'\int \frac{{u}'}{(u)^{n}}dx]\, \, dx-c=x \int \frac{1}{(u)^{n}}du-\int[\int \frac{1}{(u)^{n}}du]\, \, dx-c=-x\frac{n-1}{u^{n-1}}-\frac{(n-1)(n-2)}{u^{n-2}}-c=-x\frac{n-1}{(lnx)^{n-1}}-\frac{(n-1)(n-2)}{(lnx)^{n-2}}-c< -c\Rightarrow \exists M> 0\, \, \, s.t.-x\frac{n-1}{(lnx)^{n-1}}-\frac{(n-1)(n-2)}{(lnx)^{n-2}}-c< -c< M\frac{x}{(lnx)^{n}} [Because \frac{x}{(lnx)^{n}}> 0]$

نامساوی اخر به این دلیل درسته که ما میتونیم M را به قدر کافی بزرگ انتخاب کنیم. توجه کنید که این راه فقط برای n>=3

:3:

bm8976 · 1391/6/16

پاسخ : سوالات ریاضی تقریبا سخت

یال برشی چیه؟؟؟

alich100 · 1391/6/16

پاسخ : سوالات ریاضی تقریبا سخت

یعنی یالی که با حذفش مولفه ها بیشتر بشه

سوالات ریاضی تقریبا سخت

alich100

New Member

alich100

New Member

ehsan-mokhtarian

New Member

alich100

New Member

orion

Well-Known Member

AlimA

New Member

zz_torna2

New Member

alich100

New Member

zz_torna2

New Member

bm8976

New Member

alich100

New Member