سوالی از المپیاد ریاضی آمریکا 1987 (ترکیبیات)

[SABB]

یک زوج مرتب (m,n) از اعداد صحیح نامنفی را ساده مینامیم اگر عملیات جمع کردن m+n نیاز به عمل ده بر یک نداشته باشد. تعداد زوج های مرتب ساده ای را بیابید که مجموع دو عدد آنها
الف) 1492 شود
ب) 1992 شود

 

[Goharshady]

یک زوج مرتب

از اعداد صحیح نامنفی را ساده مینامیم اگر عملیات جمع کردن

نیاز به عمل ده بر یک نداشته باشد. تعداد زوج های مرتب ساده ای را بیابید که مجموع دو عدد آنها
الف)

شود
ب)

شود

چون ده بر یک نداریم ، یعنی هر رقم را به صورت حاصل جمعی دو تایی از ارقام کوچکتر از خودش باید بنویسیم که ترتیب هم در آن مهم است. اگر این رقم برابر

باشد ، می توانیم

توپ در نظر بگیریم که می خواهیم بین آنها یک دیوار بگذاریم به

طریق. پس برای

در مجموع

حالت داریم و برای

در مجموع

حالت داریم.