سوالی از فرانسه 2007 (ترکیبیات)
- ارسال ها
- 114
- لایک ها
- 3
- امتیاز
- 0
سلام آقای گوهرشادی. خسته نباشید.
فرض کنید این نقاط وجود دارن
اول ثابت میکنیم همه نقاط هم خطن !!
چون 5 تا نقطه داریم ، تعداد فاصله های بین جفت نقطه ها دقیقا 10 تاست. پس هیچ فاصله تکراری نباید داشته باشیم.
فرض کنید نقاط A , B , C , D , E باشن و AB=1 اون وقت اگر C به A , B وصل بشه و CA+CB>=CB پس CA = CB-1 و C , A , B همخطن . به همین ترتیب D , E هم با A , B , C همخطن. فرض کنید نقاط روی خط از چپ به راست X , Y , Z, P , Q باشن که جایگشتی از A , B , C , D , E هستن. میدونیم XY , YZ , ZP , PQ هیچ دوتاییشون برابر نیستن م جمعشون 10 هست و جمعشون حداقل 1+2+3+4 = 10 هست پس این چهار فاصله جایگشتی از 1 تا 4 هستن. اگه بین این 4 فاصله 1 و 2 یا 1 و 3 کنار هم بیفتن تناقضه چون فاصله 3 یا 4 دوبار بوجود میاد . پس YZ یا ZP نمیتونن 1 باشن (چون اگه باشن یکی از 2 و 3 میفته کنارشون) پس فرض میکنیم XY =1 درنتیجه YZ=4 پس
ZP , PQ یکیشون 2 و اونیکی 3 هست پس : XY+YZ = ZP+PQ =5 که تناقضه.
فرض کنید این نقاط وجود دارن
اول ثابت میکنیم همه نقاط هم خطن !!
فرض کنید نقاط A , B , C , D , E باشن و AB=1 اون وقت اگر C به A , B وصل بشه و CA+CB>=CB پس CA = CB-1 و C , A , B همخطن . به همین ترتیب D , E هم با A , B , C همخطن. فرض کنید نقاط روی خط از چپ به راست X , Y , Z, P , Q باشن که جایگشتی از A , B , C , D , E هستن. میدونیم XY , YZ , ZP , PQ هیچ دوتاییشون برابر نیستن م جمعشون 10 هست و جمعشون حداقل 1+2+3+4 = 10 هست پس این چهار فاصله جایگشتی از 1 تا 4 هستن. اگه بین این 4 فاصله 1 و 2 یا 1 و 3 کنار هم بیفتن تناقضه چون فاصله 3 یا 4 دوبار بوجود میاد . پس YZ یا ZP نمیتونن 1 باشن (چون اگه باشن یکی از 2 و 3 میفته کنارشون) پس فرض میکنیم XY =1 درنتیجه YZ=4 پس
ZP , PQ یکیشون 2 و اونیکی 3 هست پس : XY+YZ = ZP+PQ =5 که تناقضه.