فرض کنید سکه اول روی نقطه x سکه دوم روی y و سکه سوم روی z باشه.
شرط لازم و کافی : x+y+z =3k
اگر بتونیم این سه که رو روی نقطه ی k بیاریم از اونجایی که با هر بار انجام این حرکت x+y+z تغییر نمیکنه (فرض کنید روی x , y حرکتو انجام بدیم x+y+z = x+1 +y-1 +z)
پس x+y+z =3k
حالا فرض کنید x+y+z =3k اونوقت بین x , y , z روی بزرگترین و کوچیکترینشون اونقد این حرکتو انجام میدیم (بزرگترینو به عقب میاریم و کوچکترینو به جلو) تا اینکه یکی از این دوتا (مثلا x) بیاد روی k حالا سکه سومو در نظر میگیریم ، فرض کنید y>z فاصله y از k مساویه با y-k و فاصله z از k مساویه با k-z اما میدونیم y+z = 2k پس با انجام این حرکت روی دومیو سومی میشه این دوتا رو هم آورد روی نقطه k.