سوال شمارش از پرینستون

math1998 · 1393/5/5

به چند طریق میتونیم اعداد 1 تا 10 رو در یک ردیف بچینیم طوری که عدد ابتدای ردیف 1 و عدد انتهایی برابر 10 باشدو دقیقا یکی از اعداد میانی از هردو عدد مجاور خود کوچکتر باشد ؟

(Princeton-2010)

AHZolfaghari · 1393/5/5

پاسخ : سوال شمارش از پرینستون

math1998 گفت

$1 < a_1 , a_2 , ... , a_8 < 10$

خب یکی از این هشت تا باید از دو تا بعدی و قبلی اش کمتر باشه مسلما این اتفاق برای

$a_1$

نمی افته چون صد در صد از 1 بیشتره.
اگه مثلا برای

$a_2$

باشه
پس این اتفاق برای

$a_8$

نباید بیفته دیگه پس خود به خود داریم

$a_8 > a_7$

و همینجوری نتیجه میشه که

$a_8 > a_7 > a_6 > a_5 > a_4 > a_3 > a_2$

و طبق یه قاعده کلی بدست میاد که اگه اون اتفاق واسه

$a_i$

بیفته از اون جا به بعد دنباله اکیدا صعودی خواهد شد و از اون جا به قبل یه عضو میشه حداکثر مثل

$a_j$

و داریم : از اول دنباله تا

$a_j$

اکیدا صعودی و از

$a_j$

تا

$a_i$

اکیدا نزولی میشه . سیستمش اینجوری میشه .

$1 < ... < a_j > ... > a_i <....<10$

$a_j = x , a_i = y \rightarrow x > y$

مقادیر بزرگ تر از x فقط از y به بعد ظاهر شدند و مقادیر کوچک تر از x فقط در قسمت اول. پس جاشون معلومه میمونه اعداد بین x,y
که تعدادشون x-y -1 تا هستش که هر کدوم سه حالت داره پس میشه

$3^{x-y-1}$

حالا کافیه که x,y ها رو مشخص کنیم . و جواب میشه تمامی این اعداد
مثلا یه بار y رو دو میذاریم و ادامه میدیم .

سوال شمارش از پرینستون

math1998

New Member

AHZolfaghari

Well-Known Member