سوال معادله ی تابعی (تابع جمعی)

hkh74 · 1390/12/16

تمام توابع جمعی

$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$

را بیابید که برای هر عدد حقیقی

$x \neq 0$

داشته باشیم :

$f(x)=x^2f(\frac{1}{x})$

(سوال 93 فصل شانزدهم کتاب مباحث و مسائل جبر در المپیاد ریاضی)

mahanmath · 1390/12/16

پاسخ : سوال معادله ی تابعی (تابع جمعی)

$x\neq -1 : \\ \\ f(1)=f(\frac{1}{x+1}) + f(\frac{x}{x+1}) \\ = (\frac{1}{x+1})^2 f(x+1) + (\frac{x}{x+1})^2 f(1+\frac{1}{x}) \\ =(\frac{1}{x+1})^2 \left ( \left (f(x)+f(1) \right )+x^2\left (f(1)+f(\frac{1}{x}) \right ) \right ) \\ =(\frac{1}{x+1})^2 \left ( 2f(x)+f(1)+x^2f(1)) \right ) \\ \\ \Rightarrow \boxed{f(x)=xf(1)}$

سوال معادله ی تابعی (تابع جمعی)

hkh74

New Member

mahanmath

New Member