سوال هندسه ی خیلی سخت

[seifi_seifi]

M وسط ضلع BC از مثلث ABC می باشد. T وسط کمان BC که شامل A نمیباشد. I مرکز دایره ی محاطی مثلث است. ثابت کنید MI = MT اگر و فقط اگر COS B +COS C =1

 

[hr_maleki]

خودت رو این سؤال فکر کردی؟ حل شده؟

 

[seifi_seifi]

بله فکر کردم حل هم شده.
البته خیلی خیلی سخت.
سوال TST ایران سال 2006 است.
اگر راه حل ساده ای دارید ممنون میشم بزارید.

 

[seifi_seifi]

بسیار سوال زیباییست.ازون سوال های معتاد کننده است که تا حل نشه همش تو فکر آدمه.

به سایر دوستان توصیه میکنم یه فکری روش کنن.من هم سعی میکنم راه حلش رو بنویسم.

 

[hr_maleki]

من از رابطه ی میانه ها تو مثلث BIC استفاده کردم. با یه کم محاسبه مسأله سریع حل می شه.

 

[seifi_seifi]

راه حل من اینه. طرف اول:
فرض کنیم O مرکز دایره ی محیطی باشد. در این صورت بدست می آید که AO و MI با هم موازی اند و OI و BC نیز موازی هستند.
حال با استفاده از اینکه OI با MF برابر است (F محل برخورد دایره ی محاطی با BC ) و محاسبات زیاد حل میشود.
ولی با استفاده از مساله ی 12 کتاب هندسه ی مسطحه ی خوشخوان صفحه ی 250 و محاسبات بسیار کم مساله ثابت میشود.
طرف دومش هم با استفاده از راه حل دوم ساده است.

 

[hr_maleki]

جالب بود. مهم اینه که مسأله حل شه. حالا یا طولانی یا کوتاه
راه حل من خیلی مختصر. یه کم فکر کن اگه خواستی بگو که بگم.

 

[seifi_seifi]

ممنون.

از راه حل شما هم حل کردم ولی بازهم طولانی شد ولی از راه خودم کوتاه تر شد.