فاصله های دو به دو صحیح

M_Sharifi · 1389/2/22

یه سوال:
الف) ثابت کنید برای هر

$n$

می توان

$n$

نقطه در صفحه طوری پیدا کرد که هیچ سه نقطه ای روی یک خط نباشند و فاصله ی هر دو تا از آن ها عددی صحیح باشد.
ب) فرض کنید

$6n$

نقطه در صفحه داریم که هیچ سه نقطه ای روی یک خط نیستند و فاصله ی هر دو تا از آن ها عددی صحیح است. ثابت کنید دست کم

$n$

تا از این فواصل مضرب 3 اند.

mahanmath · 1389/2/22

الف) تو کتاب خانم میرزاخانی هست (یا خم گویا یا نمایش اعداد به صورت ...) . با اون مسئله ای که قبلش گفته شده آسونه ولی به نظرم خیلی سخت بود اون مسئله اولیه رو حدس بزنی

..

ب) این خیلی آسون تره (البته اگه جوب نزده باشم

...) فقط کافیه بفهمید 6 از کجا اومده.

M_Sharifi · 1389/2/23

mmath گفت

بله، قسمت الف توی صفحه ی 155 و 156 اومده. البته نیازی به اون مسئله ی قبلیش نیست. کافیه دنباله ی نقاط

$A_0,A_1,A_2,\ldots$

رو روی دایره ای به شعاع 1 طوری در نظر بگیریم که اگر

$\alpha_i=\frac12\stackrel{\frown}{A_iA_{i+1}}$

، مقادیر

$\sin{\alpha_i},\cos{\alpha_i}$

برای هر

$i$

گویا شوند (چرا؟). برای این کار قرار می دیم

$\sin{\alpha_i}=\frac{2x_i}{1+x_i^2}$

که

$x_i$

ها اعدادی گویا و به اندازه ی کافی بزرگ اند. در این صورت، فاصله ها گویا می شوند. حالا با بزرگ کردن دایره، فاصله ها صحیح میشن.

اما برای قسمت (ب) راه حلت رو دقیق بگو.

mahanmath · 1389/2/23

برای قسمت (ب) نکات اصلیه مساله عبارتند از

(!!!!) :

$\binom{4}{2}= 6$

$\frac{\binom{6n}{4}}{\binom{6n-2}{2}} = \frac{\binom{6n}{2}}{6}$

برهان خلف

قضیه کسینوس ها

اگه راهم خیلی پرته بفرمایید توضیح بدم

M_Sharifi · 1389/2/24

mmath گفت

نه، حالا به اندازه ی کافی گویا هستش.

mohammad_72 · 1389/2/30

اگه m تا نقطه با این خواص داشته باشیم و

$m=5a+b$

اونوقت حداقل

$b\binom{a+1}{2}+(5-b)\binom{a}{2}$

تا از فاصله‌ها مضرب سه هستن (البته فکر کنم حداقل واقعی بیشتر از اینه)

فاصله های دو به دو صحیح

M_Sharifi

راهبر ریاضی

mahanmath

New Member

M_Sharifi

راهبر ریاضی

mahanmath

New Member

M_Sharifi

راهبر ریاضی

mohammad_72

New Member