قوانین کپلر

Wizard · 1391/3/10

به نام خداوند دانا و توانا

سلام به همگی دوستان

دوستان وقتش رسیده یکم به قسمت های ریاضی نجوم بپردازید. برای مطالعه ی اجرام آسمانی بسیار کتاب هست و می توان آنها را به تنهایی خواند

اما بعضی از مسئله ها نجوم نیاز به یک همیار برای یادگیری دارد. امروز به قوانین سه گانه ی کپلر می پردازیم

کپلر دانشمندی آلمانی بوده و از طرفداران نظریه ی کپرنیک( خورشید مرکزی) بوده. بر اثر سال ها تلاش به سه قانون مهم دست یافت(( هر

قانون را در پیغامی جدا می نویسم))

قانون اول:

هر سیاره حول خورشید روی یک مدار بیضی در گردش است و خورشید در یکی از کانون های آن قرار دارد

منظور از کانون چیست نمی دانم و از دوستان نجومی کمک می خواهم

شکل از ویکیپدیا

اما حالا فرمول این قسمت

برای بدست آوردن فاصله ی بین دو کانون که خورشید می تواند در یکی از آنها باشد می توان از فرمول زیر استفاده کرد

( a قطر اطول-بزرگ- و b قطر اصغر و 2c فاصله ی بین کانون ها است)

برای تعیین خروج از مرکز یک بیضی می توان از فرمولی که در زیر می نویسم یاری گرفت. خروج از مرکز همیشه بین 0 و 1 است و هرچه به

سمت 0 متمایل باشد بیضی به دایره نزدیک تر و هرچه به 1 نزدیکتر ، بیضی کشیده تر داریم

e در فرمول زیر به معنای خروج از مرکز است 2c و a همان 2c و a فرمول بالا هستند

با تشکر

Wizard · 1391/3/10

پاسخ : قوانین کپلر

به نام خداوند دانا و توانا

سلام به همگی

حالا به قانون شماره ی 2 می پردازیم

قانون دوم کپلر

خط مستقیمی که سیاره و خورشید را به هم متصل می سزد در فواصل زمانی مساوی سطوح مساوی را در فضا طی می کند

همانطور که در شکل می بینید قانون دوم در شکل بالا بررسی شده ، شما در شکل بالا مقدار جابجایی سیاره را در مدت زمان یکسان در دو مکان از مدار

حساب کردید. الان در این شکل بر اساس قانون کپلر متوجه می شویم که دو مساحت به وجود آمده با هم مساوی اند.

قانون سوم هم انشاا... پیغام بعدی

با تشکر

Wizard · 1391/3/10

پاسخ : قوانین کپلر

به نام خداوند دانا و توانا

قانون سوم کپلر می گوید مکعب فاصله ی سیاره با خورشید با مربع دوره تناوب سیاره است.

البته این قانون بعد ها توسط اسحاق نیوتون اصلاح شد

که ما صورت اصلاح شده ی آن را در پایین این مطلب می نویسیم و همچنین صورت قبلی آن را هم می نویسیم.

به فرمول های زیر توجه کنید

حالا با حالت اصلاح نشده ی آن مسأله زیر را حل کنید.

دوره ی تناوب سیاره ی مریخ 687 روز است فاصله ی متوسط مریخ را از خورشید حساب کنید.(( زمین فاصله ی متوسطش 1 واحد نجومی یا 150 میلیون

کیلومتر است و یک دوره تناوبش 365 روز است))

موفق باشید

از دوستان نجومی تقاضا دارم بر چیز هایی که می نویسم نظارت کنند و من را از غلط هایم آگاه کنند

با تشکر

mohammad saremi · 1391/3/11

پاسخ : قوانین کپلر

اول تشکر بابت نوشته هاتون

بعدشم منظور از کانون رو از تعریف بیضی می فهمیم : ((مجموعه نقاطی از صفحه که فاصلشون از دو نقطه ی خاص برابر با مقدار ثابتی باشه))،به اون دو نقطه ی خاص میگن کانون های بیضی.

mohammad saremi · 1391/3/11

پاسخ : قوانین کپلر

گفتم شاید بد نباشه که اثبات قانون دوم رو هم بگیم. منظورم از ds یه جزء دیفرانسیلی از مساحت بیضیه، نتونستم شکلشو بکشم ولی یه مثلث با اضلاع r و r+dr در نظر بگیرید(r فاصله ی یه نقطه روی بیضی از کانونه) که زاویه ی بین این ضلع ها جزء دیفرانسیلی زاویه آنومالی حقیقی بیضی هست. توی سال دوم هم خوندیم که مساحت یک مثلث برابره با نصف حاصل ضرب دو ضلع در sin زاویه ی بینشون. اگه بازم سوالی داشتید بپرسید. اگرم کلا هیچی نفهمیدید خجالت نکشید و بپرسید.

$dS= \frac{1}{2}r\left ( r+dr \right )sind\theta = \frac{1}{2}r\left ( r+dr \right )d\theta = \frac{1}{2}r^{2}d\theta +\frac{1}{2}rdrd\theta = \frac{1}{2}r^{2}d\theta ,f\left ( r \right )\hat{r}= m\left ( \ddot{r}-r\dot{\theta }^{2} \right )\hat{r}+0\hat{\theta }\Rightarrow 2\dot{r}\dot{\theta }+r\ddot{\theta }= 0\Rightarrow 2r\dot{r}\dot{\theta }+r^{2}\ddot{\theta}= 0\Rightarrow \frac{\mathrm{d}r^{2}\dot{\theta } }{\mathrm{d} t}= 0\Rightarrow r^{2}\dot{\theta }= const \Rightarrow \frac{\mathrm{d}S }{\mathrm{d} t}= const$

mohammad saremi · 1391/3/11

پاسخ : قوانین کپلر

$\vec{L}= \vec{r}\times m\vec{v}\Rightarrow \vec{L}= m\left [ r\hat{r}\times \left ( \dot{r}\hat{r}+r\dot{\theta }\hat{\theta } \right ) \right ]\Rightarrow \frac{\vec{L}}{2m}=\frac{1}{2}r^{2}\dot{\theta }=\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d} t}=const= \frac{S}{T}$

$L= m\sqrt{GMa\left ( 1-e^{2} \right )}\Rightarrow \frac{m\sqrt{GMa\left ( 1-e^{2} \right )}}{2m}= \frac{\pi ab}{T} , b= a\sqrt{1-e^{2}}\Rightarrow \frac{\pi a^{2}\sqrt{1-e^{2}}}{T}= \frac{m\sqrt{GMa\left ( 1-e^{2} \right )}}{2m}\Rightarrow T^{2}= \frac{4\pi ^{2}a^{3}}{GM}$

mohammad saremi · 1391/3/11

پاسخ : قوانین کپلر

اینم اثبات قانون سوم(منظورم پست بالاییه). فقط دقت کنید که این چیزی که نوشتم در صورتی درسته که M خیلی بزرگتر از m باشه و اثبات اون یکی حالتش هم خیلی سخت نیست. اگه سوالی داشتید بپرسید و تاکید می کنم که از سوال پرسیدن(هر چند سوال ساده ای باشه) نترسید.
اندازه ی تکانه زاویه ای هم در اصل از انگرال گیری به دست میاد. صبح راه به دست آوردنش رو نوشتم ولی موقع انتقال به این جا چون حجمش زیاد بود کامپیوتر قاطی کرد، شرمنده!

قوانین کپلر

Wizard

Moderator

Wizard

Moderator

Wizard

Moderator

mohammad saremi

New Member

mohammad saremi

New Member

mohammad saremi

New Member

mohammad saremi

New Member