مربع عدد طبیعی

kagali · 1392/10/14

سلام اگه میشه یکی این دوتا لم رو برام ثابت کنه لطفا
لم1-ثابت کنید مربع هر عدد طبیعی یا به شکل3k یا 3k+1 است
لم2-ثابت کنید مربع هر عدد فرد به شکل 8k+1 است.
تو کتاب نظریه اعداد بود ولی اثباتشو ننوشته بود می خوام بدونم چطوری بدست میاد!!؟؟

MNikdan · 1392/10/14

پاسخ : مربع عدد طبیعی

1)از اون جا که باقیمانده ی هر عدد طبیعی به 3 برابره با یکی از اعداد 0 ، 1 یا 2 ، پس هر عدد طبیعی یا به صورت 3k هستش یا 3k+1 یا 3k+2 :

$(3k)^{2}=9k^{2}=3(3k^{2})=3t$

$(3k+1)^{2}=9k^{2}+6k+1=3(3k^{2}+2k)+1=3t+1$

$(3k+2)^2=9k^{2}+12k+4=3(3k^2+4k+1)+1=3t+1$

پس در هر سه حالت ، مربع عدد به صورت 3k یا 3k+1 به دست اومد ...

2)میدونیم که هر عدد فرد به صورت 2n+1 هستش.

$(2n+1)^2=4n^2+4n+1=4n(n+1)+1$

با توجه به این که از هر دو تا عدد متوالی ، حتماً یکیشون زوجه ،

$n(n+1)$

هم حتماً زوجه. پس میشه نوشت :

$n(n+1)=2k$

$(2n+1)^2=4n(n+1)+1$

$\Rightarrow (2n+1)^2=4\times 2k+1=8k+1$

مربع عدد طبیعی

kagali

New Member

MNikdan

New Member