مسآله ی عمراً

[hr_maleki]

در مثلث ABC دونقطه ی M , N روی ضلع BC واقعند به طوزی که BM=CN است(M بین B , C).
دونقطه ی P , Q را به ترتیب روی AN , AM طوری اختیار می کنیم که دو زاویه ی PMN و MAB وهم چنین دو زاویه ی QNM و NAC باهم برابر باشند. ثابت کنید دو زاویه ی QBN و PCM باهم برابرند.

 

[seifi_seifi]

[center:bd807c4cf5]VERY BEAUTIFUL & NICE PROBLEM[/center:bd807c4cf5]
نقطه ی F را در امتداد AM طوری انتخاب میکنیم که زاویه ی AFB=QNB=CAN و به همین ترتیب E را در امتداد AN انتخاب میکنیم که زاویه ی AEC=PMC=BAM

حال بدست میاید دو مثلث ABF,AEC متشابه اند و دو چهار ضلعی QNFB , PMEC محاطی هستند. پس برای آنکه ثابت کنیم QBN=PCM باید ثابت کنیم MFN=MEN

یعنی باید ثابت کنیم MNEF محاطی است.

حال داریم :CE/CN=sinCNE/sinCEN و AB/BM=sinAMB/sinBAM حال با تقسیم این دو رابطه بدست میاید : AB/CE=sinAMB/sinCNE=AN/AM و از طرفی :

AB/CE=AF/AE (تشابه دو مثلث ABF و ACE ) پس AF/AE=AN/AM با طرفین و وسطین کردن بدست میاید : AF.AM=AN.AE پس MNEF محاطی است.

و اثبات کامل شد.