مقدار حد

threehandsnal · 1391/2/29

مقدار این حد را بیابید:

$\lim_{n\to\infty }\frac{\frac{n}{\sqrt[4]{1^{3}}}+\frac{n}{\sqrt[4]{2^{3}}}+.....+\frac{n}{\sqrt[4]{n^{3}}}}{\sqrt[4]{1}+\sqrt[4]{2}+....+\sqrt[4]{n}}$

seyed iman · 1391/2/29

پاسخ : مقدار حد

این بدردتون میخوره؟
Faulhaber's formula - Wikipedia, the free encyclopedia

zz_torna2 · 1391/2/29

پاسخ : مقدار حد

فکر نکنم چون تو منبع شما p عددی طبیعیه در صورتی که تمامی توانها گویا اند!!

seyed iman · 1391/2/29

پاسخ : مقدار حد

یعنی برای گویا ها جواب نمیده؟؟
پس چی کار کنیم؟

seyed iman · 1391/2/29

پاسخ : مقدار حد

mehran88 گفت

روشت فکر کنم غلطه.چون این رو برای هر f همگرایی میشه نوشت پس عملن نباید چیز خاصی به ما بده.و در ضمن تیکه سوم از کجا اومد؟و مشتق نسبت به چی هست؟و جواب آخر f' مال چه نقطه ایه؟

mahanmath · 1391/2/29

پاسخ : مقدار حد

جوابش ۵ می‌شه ، اشتباه می‌کنم ؟

$\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{ \sum_{k=1}^{n} k^{r}}{\int_{0}^{n} x^r } =1$

seyed iman · 1391/2/29

پاسخ : مقدار حد

mahanmath گفت

چی نوشتید؟اصلن متوجه نمیشم.

mahanmath · 1391/2/29

پاسخ : مقدار حد

با استفاده از اون حدی که نوشتم (تقریب جمع گسسته با انتگرال) می‌شه گفت که اون حد ۵ می‌شه .
چون تا حالا این کارو ندیدم ، مطمئن نیستم که جوابم درست باشه .

mehran88 · 1391/2/29

پاسخ : مقدار حد

حالا روشم رو تکمیل کردم.اگه بازم اشکالی داشت بگید.

عبارت جلوی حد رو f میگیرم و کارای زیر رو می کنم

$f(n)=ng(n)$

البته اگه حد وجود داشته باشه کارای زیر درسته.

$\lim_{n \to \infty }ng(n)=L\Leftrightarrow if n \to \infty so L\sim ng(n)$

$\lim_{n \to \infty }f'(n)=0\Leftrightarrow \lim_{n \to \infty }ng'(n)+g(n)=0\Leftrightarrow \lim_{n \to \infty }\frac{Lg'(n)}{g(n)}=-\frac{L}{n}\Rightarrow L=0$

چون مشتق g رو بلد نیستم بگیرم فکر هم نمی کنم مشتق g بشه g/n پس L=0 .جوب نزدم؟؟

hkh74 · 1391/2/30

پاسخ : مقدار حد

مسئله های شبیه این یک راه معروف دارن، (دقیقا راه mahanmath) :

$\frac{n\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt[4]{k^3}}}{\sum_{k=1}^{n}\sqrt[4]{k}}=\frac{\sum_{k=1}^{n}\sqrt[4]{(\frac{n}{k})^3}}{\sum_{k=1}^{n}\sqrt[4]{\frac{k}{n}}}=\frac{\frac{\sum_{k=1}^{n}f(\frac{k}{n})}{n}}{\frac{\sum_{k=1}^{n}g(\frac{k}{n})}{n}}$

که

$f(x)=x^{-\frac{3}{4}}\; ,g(x)=x^{\frac{1}{4}}$

پس:

$\lim_{n\to\infty}\frac{n\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt[4]{k^3}}}{\sum_{k=1}^{n}\sqrt[4]{k}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{\sum_{k=1}^{n}f(\frac{k}{n})}{n}}{\frac{\sum_{k=1}^{n}g(\frac{k}{n})}{n}}=\frac{\lim_{n\to\infty}\frac{\sum_{k=1}^{n}f(\frac{k}{n})}{n}}{\lim_{n\to\infty}\frac{\sum_{k=1}^{n}g(\frac{k}{n})}{n}}=\frac{\int_{0}^{1}f(x)\: \mathrm{d}x}{\int_{0}^{1}g(x)\: \mathrm{d}x}\\ =\frac{\int_{0}^{1}x^\frac{-3}{4}\: \mathrm{d}x}{\int_{0}^{1}x^\frac{1}{4}\: \mathrm{d}x}=\frac{\left [4x^{\frac{1}{4}}\right ]_{x=0}^1}{\left [\frac{4}{5}x^{\frac{5}{4}}\right ]_{x=0}^1}=\frac{4}{\frac{4}{5}}=5$

hkh74 · 1391/2/30

پاسخ : مقدار حد

mehran88 گفت

چرا حد f'=0 ؟ (وقتی n به بینهایت میل می کند)

mehran88 · 1391/2/30

پاسخ : مقدار حد

hkh74 گفت

وقتی تابعی مجانبی داشته باشه در بینهایت هم مقدار تایع با مجانب برابره هم مشتق تابع با مشتق مجانب.با برهان خلف هم میشه اثباتش کرد.

threehandsnal · 1391/2/30

پاسخ : مقدار حد

ممنون از همگی! مخصوصا mahanmath و hadikh عزیز. لینک این سوال در مث لینکس:
AoPS Forum - Limit -8 • Art of Problem Solving

مقدار حد

threehandsnal

New Member

seyed iman

Well-Known Member

zz_torna2

New Member

seyed iman

Well-Known Member

seyed iman

Well-Known Member

mahanmath

New Member

seyed iman

Well-Known Member

mahanmath

New Member

mehran88

New Member

hkh74

New Member

hkh74

New Member

mehran88

New Member

threehandsnal

New Member