نامساوی(سریع الجواب و الازم!!)

n_maths · 1392/8/6

سلام دوستان...
فرض کنید

$a,b,c$

عضو مجموعه اعداد حقیقی مثبت باشند.با این فرض که

$abc=1$

ثابت کنید که:

$\sqrt{\frac{a+b}{a+1}}+\sqrt{\frac{b+c}{b+1}}+\sqrt{\frac{c+a}{c+1}}\geqslant 3$

nima1376 · 1392/8/6

پاسخ : نامساوی(سریع الجواب و الازم!!)

حسابی هندسی 3 تایی بزنید

n_maths · 1392/8/6

پاسخ : نامساوی(سریع الجواب و الازم!!)

زدم،چیز خاصی نشد

Aria Keshtkar · 1392/8/6

پاسخ : نامساوی(سریع الجواب و الازم!!)

طبق نامساوی حسابی - هندسی داریم :

$\sum \sqrt{\frac{a+b}{a+1}}\geq 3\sqrt[4]{\frac{\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )}{\left ( a+1 \right )\left ( b+1 \right )\left ( c+1 \right )}}$

لذا باید ثابت کنیم

$\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )\geq \left ( a+1 \right )\left ( b+1 \right )\left ( c+1 \right )$

که با توجَه به این که

$abc=1$

است ، به وضوح داریم

$a+b+c\ ,\ ab+bc+ca\geq 3$

و به سادگی می توان یافت که نامساوی مورد پرسش واقع شده هم ارز(معادل) نامساوی زیر است که با توجّه به شرایط بالا به وضوح درست است :

$\left ( a+b+c-1 \right )\left ( ab+bc+ca-1 \right )\geq 4$

پرسشی مشابه پرسش پیش :
برای

$a,b,c> 0$

و با شرط

$abc=1$

ثابت کنید

$\sum \frac{a^{4}\left ( c^{2}+a \right )}{c\left ( c+a \right )}\geq 3$

.

نامساوی(سریع الجواب و الازم!!)

n_maths

New Member

nima1376

New Member

n_maths

New Member

Aria Keshtkar

New Member