نامساوی سوال 28 صفا

ali_irysc · 1390/11/27

سوال 28 نامساوی کتاب صفا رو اثبات کنید

math · 1390/11/27

پاسخ : نامساوی سوال 28 صفا

28 کدوم فصل؟

ali_irysc · 1390/11/27

پاسخ : نامساوی سوال 28 صفا

مگه تست هوشه ؟

goodarz · 1390/11/27

پاسخ : نامساوی سوال 28 صفا

میشه صورت سوال رو بذارین؟؟

ali_irysc · 1390/11/27

پاسخ : نامساوی سوال 28 صفا

نه طولانیه

goodarz · 1390/11/27

پاسخ : نامساوی سوال 28 صفا

خب وقتی شما به خودتون زحمت نمیدین صورت سوال رو بذارین چه انتظاری از بقیه دارین که برن روش فکر کنن؟ :3:

hkh74 · 1390/11/27

پاسخ : نامساوی سوال 28 صفا

صورت سوال:

اگر

$a,b,c,d\in[0,1]$

و

$x,y,z,t\in[0,\frac{1}{2}]$

و

$x+y+z+t=a+b+c+d=1$

ثابت کنید:

1)

$ax+by+cz+dt\geq min\left \{ \frac{a+b}{2},\frac{b+c}{2},\frac{c+d}{2},\frac{d+a}{2},\frac{a+c}{2},\frac{b+d}{2} \right \}$

2)

$ax+by+cz+dt\geq 54abcd$

(رومانی 1994)

ali_irysc · 1390/11/27

پاسخ : نامساوی سوال 28 صفا

اگر

$a,b,c,d \in \left [ 0,1 \right ]$

و

$x,y,z,t \in \left [ 0,\frac{1}{2} \right ]$

و داشته باشیم

$a+b+c+d= x+y+z+t=1$

ثابت کنید
i )

$ax+by+cz+dt\geq \frac{1}{2}min \left \{ a+b,a+c,a+d,b+c,b+d,c+d \right \}$

ii)

$ax+by+cz+dt\geq 54abcd$

ali_irysc · 1390/11/27

پاسخ : نامساوی سوال 28 صفا

اوه من ندیدم شما سوال رو گذاشتید ممنون

hkh74 · 1390/11/27

پاسخ : نامساوی سوال 28 صفا

اثبات قسمت 1:

قسمت اول تقریبا بدیهیه.

راهنمایی: می توانیم فرض کنیم

$a\geq b\geq c\geq d$

(چون می توان جای x,y,z,t را با هم عوض کرد)

در اینصورت اگر t را به اندازه ی e افزایش دهیم (تا به

$t'$

تبدیل شود) و یکی از متغیرهای x,y,z (ترجیحا بزرگترین)را به اندازه ی e کاهش دهیم (e طوری انتخاب می شود که مقدار حاصل منفی نشود) طرف چپ حکم کاهش می یابد. توجه کنید که این تبدیل مجموع x+y+z+t را تغییر نمی دهد. چون

$t\leq \frac{1}{2}$

می توان از مقدار متغیرهای دیگر طوری کم کرد که

$t'=\frac{1}{2}$

و فرض کنیم x,y,z به

$x',y',z'$

تبدیل شوند.

$ax+by+cz+dt\geq ax'+by'+cz'+dt'\geq cx'+cy'+cz'+dt'=c(x'+y'+z')+dt' \\ \Rightarrow ax+by+cz+dt\geq \frac{c+d}{2}$

$min\left \{ \frac{a+b}{2},\frac{b+c}{2},\frac{c+d}{2},\frac{d+a}{2},\frac{a+c}{2},\frac{b+d}{2} \right \}=\frac{c+d}{2}$

نامساوی سوال 28 صفا

ali_irysc

New Member

math

New Member

ali_irysc

New Member

goodarz

Well-Known Member

ali_irysc

New Member

goodarz

Well-Known Member

hkh74

New Member

ali_irysc

New Member

ali_irysc

New Member

hkh74

New Member