نقاط لاگرانژی

smjty

New Member
ارسال ها
103
لایک ها
119
امتیاز
0
#1
به نام خدا !

سلام ! خوب هستید ؟ روی این مسئله فکر کنید ، مسئولیتش هم ( درگیر کردن ذهن در زمان امتحان ها ) البته به عهده خودتونه !

وقتی دو جسم ( دو سیاره ) دور هم می گردند ، 5 نقطه وجود دارند که اگر جسمی با جرمی بسیار کوچکتر نسبت به آن دو جرم ( آنقدر کوچک که در حرکت آندو اختلال ایجاد نکند ) را در آن 5 نقطه قرار دهی و سرعت اولیه مناسب را به آن دهی ، به صورت پایدار همراه با 2 سیاره خواهد چرخید . مسئله این است که این 5 نقطه را بیابید . ( مکان آنها نسبت به 2 سیاره )



الف ) 3 نقطه از این 5 نقطه روی خط واصل دو سیاره قرار دارند ، ابتدا این سه را بیابید که راحت تر هستند .

2 نقطه دیگر نسبت به خط واصل متقارن اند و یافتن یکی آن دیگری را نتیجه می دهد .

ب) نشان دهید که دو نقطه دیگر باید حتما در صفحه گردش دو سیاره باشند .

ج ) مبدا مختصات را مرکز جرم دو سیاره بگیرید ، جرمی را در مکان r فرض کنید و نشان دهید در صورتی مولفه در راستای عمود بر شعاعی نیروی گرانشی وارد بر جسم صفر است که جرم از دو سیاره به یک فاصله باشد . ( نیاز به محاسبات فراوان نیست ، از قانون سینوس ها کمک بگیرید )

د ) اینکه نیروی عمود بر شعاعی وارد بر ذره صفر است برای اینکه در وضعیت پایدار همراه دو سیاره بچرخد کافی نیست ، بلکه باید نیروی گرانشی مرکزگرای آن شتاب لازم برای چرخش روی دایره را فراهم کند . نشان دهید وقتی این اتفاق می افتد که سه جرم ( دو سیاره و جسم کوچک ) روی رووس مثلث متساوی الاضلاع قرار دارند .

مسئله حل شد ولی برای کسی که جواب نهایی مسئله رو از قبل می دونه یک راه بسیار ساده نیز وجود داره که تمام قسمت ج و د رو خلاصه می کنه :

ه ) ابتدا این مسئله رو حل کنید : 3 ذره به جرم های مختلف روی رووس یک مثلث متساوی الاضلاع قرار دارند . مکان هر ذره در دستگاه مختصات به مبدا مرکز جرم را r1 , r2 , r3 بگیرید . نیروی وارد بر هر ذره را بیابید و نشان دهید این نیرو به صورتی است که اجازه می دهد 3 جرم به سرعت زاویه ای برابر حول مرکز جرم بچرخند ( به طوریکه همواره روی مثلث متساوی الاضلاع با همان طول ضلع اولیه باقی بمانند )

و) در مسئله فوق اندازه جرم یکی از 3 جرم را نسبت به دو تای دیگر به صفر میل دهید . چه اتفاقی می افتد ؟ مسئله دقیقا تبدیل می شود به مسئه نقاط لاگرانژی و آنچه می خواستیم اثبات میشود !!!!

این نقاط کاربرد های حقیقی هم دارن که تو ویکی پدیا هم درموردش نوشته . وقتی بخوایم یه ماهواره در مکانی قرار بدیم که همواره در وضعیت ثابتی نسبت به زمین و خوشید باشه ، 5 تا انتخاب داریم !

حالا یه مسئله دیگه ای هم هست که فقط صورتش رو یه جایی خوندم ولی هنوز خودم روش فکر نکردم : اینکه پایداری این 5 نقطه رو بررسی کنید ! شما حتما روش فکر کنید ...

اینجا رو ببینید
و اینجا رو ...
و هم چنین اینجا رو ...
 
آخرین ویرایش توسط مدیر
بالا