همه ی توابع صعودی f:R>=0--->R>=0

M_Sharifi · 1389/3/24

یه سوال (انتخابی تیم):
همه ی توابع صعودی

$f:\Bbb R^{\geq0}\to\Bbb R^{\geq0}$

را بیابید که برای هر

$x,y\geq 0$

،

[center:5a08ef514a]

$f\left(\frac{x+f(x)}2+y\right)=2x-f(x)+f\big(f(y)\big)$

[/center:5a08ef514a]

mahanmath · 1389/3/30

یه راهنمایی میفرمایید....

M_Sharifi · 1389/3/30

mmath گفت

این سوال رو بچه های تیم با سه تا روش کاملا متفاوت حل کردند. اگر تا فردا کسی حل نکرد، حلمو میذارم.

mohammad_72 · 1389/3/31

فرض کنید برای یه x داشته باشیم

$f(x) \le x$

. قرار میدیم

$y =\frac{x-f(x)}{2}$

به این نتیجه میرسیم که همواره

$f(x)\ge x$

قرار میدیم y = 0 داریم :

$2x-f(x)+f(f(0)) = f(\frac{x+f(x)}{2}) \ge f(x) \Rightarrow f(x) \le x + \frac{f(f(0))}{2}$

حالا به ترتیب قرار میدیم

$(x, y) = (0, 0), (0, c/2)$

که

$c = f(0)$

میبینیم که :

$f(c/2) = f(c) - c , f(c) = f(f(c/2)) - c$

حالا داریم :

$c/2 + f(c)/2 \ge f(c/2) = f(c) - c \Rightarrow f(c) \le 3c$

و همچنین :‌

$f(c/2) + f(c)/2 \ge f(f(c/2)) = f(c) + c \Rightarrow f(c) \ge 4c$

بنابراین

$f(c) = c = 0$

یعنی معادله‌ی تابعی فقط یه جواب داره :

$f(x) = x$

آقای شریفی راه حل های دیگه شو میذارین ؟

mohammad2004 · 1389/3/31

منم به این نتیجه رسیدم ((f(f((f(x)-x)/2 از هر ضریبی از f(x)-x بیشتره که نتیجه میده f(x) =x

من اول اشتباهی فکر کردم دامنه و برد R هستن . اول تو اون حالت حل کردم که تو اون حالتم مسئله جالبی بود. روش فکر کنید

.

mohammad2004 · 1389/3/31

mohammad_72 گفت

چطوری نتیجه گرفتی(f((f(x)+x)/2) >= f(x؟؟؟

mohammad_72 · 1389/3/31

من از صعودی بودن f نتیجه گرفتم:

$f(x) \ge x \Rightarrow f(\frac{x+f(x)}{2}) \ge f(\frac{x+x}{2}) = f(x)$

mohammad2004 گفت

وقتی دامنه و برد R باشه، چه جوری ثابت کردین f(x) >= x ؟

چون ممکنه ((f(f((f(x)-x)/2 مثبت باشه و f(x)-xمنفی.

M_Sharifi · 1389/3/31

راه حل من هم شبیه راه حل شما بود:

[center:5777b4a615]

$\left\left.\begin{matrix} (x,y)\to(0,0),~f(0)=a\Rightarrow f\left(\frac a2\right)=-a+f(a)\Rightarrow f(a)\geq 2a\\ (x,y)\to(a,0)\Rightarrow 2a=f\left(\frac{a+f(a)}2\right)\geq f(a) \end{matrix}\right\} \Rightarrow f(a)=2a\right.$

پس

$f(\frac a2)=a$

. از طرفی

$(x,y)\to\left(0,\frac a2\right):\quad f(a)=-a+2a=a$

بنابراین

$a=0$

یعنی

$f(0)=0$

و لذا

$f(f(x))=f(x)$

. در ضمن

$(x,y)\to(f(x),y):\qquad f\left(f(x)+y)=f(x)+f(y)$

در نتیجه

$f(f(x)+f(y))=f(x)+f(y)$

. ضمن این که

$(x,y)\to(x,0):\qquad f(x)+f\left(\frac{x+f(x)}2\right)=2x\\$

بنابراین

$f(2x)=2x$

.

[/center:5777b4a615]

M_Sharifi · 1389/3/31

از راه حل بچه های تیم خیلی اطلاع دقیقی ندارم (فقط نقل قول کردم). ولی یکی از بچه ها ثابت کرده بود تابع پیوسته است و از پیوستگی استفاده کرده بود. ضمن این که توی mathlinks هم یه راه حل ارائه شده: http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=38&t=350410

mohammad2004 · 1389/3/31

mohammad_72 گفت

با این راه حل نه. کلا با یه راه دیگه حلش کردم اول. اگه دامنه و برد R باشن فرض صعودی بودن هم لازم نیست.

mohammad2004 · 1389/3/31

من اصلا فرض صعودی بودن f رو ندیده بودم

.

همه ی توابع صعودی f:R>=0--->R>=0

M_Sharifi

راهبر ریاضی

mahanmath

New Member

M_Sharifi

راهبر ریاضی

mohammad_72

New Member

mohammad2004

New Member

mohammad2004

New Member

mohammad_72

New Member

M_Sharifi

راهبر ریاضی

M_Sharifi

راهبر ریاضی

mohammad2004

New Member

mohammad2004

New Member