یه اثبات از جزء اعشاری

Al!R3ZA · 1392/4/14

سلام
این قضیه رو توی استراتژی گفته ولی اثبات نکرده.
ممنون میشم کمک کنید و اثبات کنید

فرض کنید

$\alpha<0$

عددی گنگ باشد همچنین

$a,b\in [0,1]$

و

$a < b$

، در این صورت

$n \in \mathbb{N}$

وجود دارد که :

$a<\left \{ n\alpha \right \}<b$

Aref · 1392/4/14

پاسخ : یه اثبات از جزء اعشاری

بازه ی

$[0,1)$

رو به k بازه ی مساوی تقسیم کنید، بعد کافیه ی حکم رو برای این بازه ها ثابت کنیم. از بین

$\{\alpha\},\{2\alpha\},\dots,\{(k+1)\alpha\}$

دو تاشون توی یک بازه ی کوچک می افتند. آن ها را

$\{i\alpha\},\{j\alpha\}$

می گیریم.
پس داریم:

$\{|i-j|\alpha\}<\frac{1}{k}$

بنابراین حتما یک s وجود دارد که

$\frac{t}{k}<\{s(|i-j|)\alpha\}<\frac{t+1}{k}$

.

math · 1392/4/14

پاسخ : یه اثبات از جزء اعشاری

فرض کنید طول بازه ی مورد نظر بزرگتر از

$\frac{1}{k}$

باشد

بین

$\alpha ,2\alpha ,...,(k+1)\alpha$

چون تفاضل هیچ دوتایی طبیعی نیست جز اعشاری همه متفاوت است پس طبق لانه کبوتری دو تا وجود دارد که فاصله انها کمتر یا مساوی

$\frac{1}{k}$

است

پس X وجود دارد که

$\frac{1}{k}\geq \left \{ x\alpha \right \}$

و X طبیعی

حال اگر حکم مساله غلط باشد یعنی

$\left \{ n\alpha \right \}$

در بازه ی مورد نظر نباشد

$\Rightarrow \exists \: \: L:\: \: L\left \{ x\alpha \right \}< a\: \: ,\: \: (L+1)\left \{ x\alpha \right \}> b\: \: \Rightarrow \left \{ x\alpha \right \}> b-a$

که تناقض است چون

$\left \{ x\alpha \right \}< \frac{1}{k}< b-a$

یه اثبات از جزء اعشاری

Al!R3ZA

Well-Known Member

Aref

New Member

math

New Member