یک سوال نظریه اعدادی؟

math-sina · 1390/11/2

سلام بچه ها.
آیا این مطلب درسته ؟ :
میتونیم ثابت کنیم که بی نهایت n طبیعی وجود داره که

$n^2+1$

توانی از 2 باشه ؟ مثل n=1

hkh74 · 1390/11/2

پاسخ : یک سوال نظریه اعدادی؟

اگر

$n^2+1=2^m$

که m>1 آنگاه

$n^2+1\equiv 0\textrm{ (mod)} 4$

که با توجه به اینکه

$n^2\equiv 0,1\textrm{ (mod)} 4$

غیر ممکن است.
پس تنها جواب m=n=1 است