3n+1 و 4n+1

M_Sharifi · 1389/1/25

یه سوال:
فرض کنید

$n$

عددی طبیعی است، به طوری که

$3n+1$

و

$4n+1$

مربع کامل اند. ثابت کنید

$n$

بر 56 بخش پذیر است.

Gaara · 1389/1/27

یه راهنمایی میکنین !!!!!

فکر کنم سخت باشه. درست میگم ؟؟؟؟؟

M_Sharifi · 1389/1/28

Gaara گفت

اثبات بخش پذیری n بر 8 راحته. برای اثبات بخش پذیری بر 7 روند زیر رو ادامه بدید:

[center:367e298c1a]

$4(3n+1)-3(4n+1)=1\Rightarrow 4x^2-3y^2=1\Rightarrow (2x-1)(2x+1)=3y^2\Rightarrow\cdots$

[/center:367e298c1a]

Gaara · 1389/2/3

من اين سوال رو با معادله ي پل حل كردم !!!! راه حل ديگه اي نداره ؟؟؟

M_Sharifi · 1389/2/4

نیازی به معادله ی پل نیست.
اگه راه حل بالا رو ادامه بدبم، نتیجه می گیریم که

$2x-1=a^2~,~2x+1=3b^2$

و یا

$2x+1=a^2~,~2x-1=3b^2$

. حالت دوم امکان پذیر نیست چراکه در این صورت

$a^2-3b^2=2$

و بنابراین

$a^2\equiv 2\pmod3$

که غیرممکن است.
پس

$2x-1=a^2~,~2x+1=3b^2$

. باقی مانده ی

$a^2$

بر 7 یکی از اعداد

$0,1,2,4$

و باقی مانده ی

$3b^2$

بر 7 یکی از اعداد

$0,3,5,6$

می تواند. باشد. بنابراین

$x$

فقط به فرم

$7k\pm1$

می تواند باشد. از طرفی داشتیم

$3n+1=x^2$

. بنابراین

$n$

بر 7 بخش پذیر است.

3n+1 و 4n+1

M_Sharifi

راهبر ریاضی

Gaara

New Member

M_Sharifi

راهبر ریاضی

Gaara

New Member

M_Sharifi

راهبر ریاضی