a^2+b^2c/{b+c}+...>=2/3

M_Sharifi · 1389/2/3

یه سوال:
فرض کنید

$a,b,c$

اعدادی مثبت با مجموع 1 اند. ثابت کنید

[center:1d5fb0b2c0]

$\frac{a^2+b^2c}{b+c}+\frac{b^2+c^2a}{c+a}+\frac{c^2+a^2b}{a+b}\geq\frac23$

[/center:1d5fb0b2c0]

Olympiad · 1389/2/8

آقاي شريفي يه راهنمايي كنيد...

M_Sharifi · 1389/2/8

این هم راهنمایی:
[center:72351faff8]

$\frac{a^2+b^2c}{b+c}=\frac{a^2(a+b+c)+b^2c}{b+c}=\frac{a^3}{b+c}+a^2+\frac{b^2c}{b+c}$

[/center:72351faff8]از طرفی

[center:72351faff8]

$\frac{b^2c}{b+c}+\frac{c(b+c)}4\geq bc$

[/center:72351faff8] بنابراین ...

shoki · 1389/7/24

می تونیم اول همگن سازی کنیم بعدش بسطش بدیم تا به این برسیم :
[center:d5b8b203ee]

$3 \sum a^5 + 4 \sum ab(a^3+b^3) \ge 3 \sum_{cyc} a^2b^3 + 8\prod a \sum ab$

اما داریم که :

$\sum ab(a^3+b^3) \ge 2\prod a \sum ab \ , \ \sum a^5 \ge \sum_{cyc} a^2b^3$

[/center:d5b8b203ee]