(a^4+b^4)/(a+b)^4+(sqrt{ab})/(a+b)

M_Sharifi · 1388/12/19

یه سوال:
فرض کنید

$a,b$

اعدادی مثبت اند. ثابت کنید
[center:cf81e9d07f]

$\frac{a^4+b^4}{(a+b)^4}+\frac{\sqrt {ab}}{a+b}\geq\frac58$

[/center:cf81e9d07f]

mahanmath · 1390/8/4

پاسخ : (a^4+b^4)/(a+b)^4+(sqrt{ab})/(a+b)

$\frac{a^4 +b^4}{(a+b)^4} - \frac{1}{8} \geq \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{ab}}{a+b}$

$\Leftrightarrow$

$\frac{(a-b)^2 ((a-b)^2 + 6(a+b)^2)}{4(a+b)^4} \geq \frac{(a-b)^2}{(a+b)^2 + 2(a+b)\sqrt{ab}}$

که اینم بدیهیه چون

$6(a+b)^2 (a+b)^2 > 4(a+b)^4$