f(x+f(x+y)) = f(x-y) +f(x) ^2 JUST 4 FUN

mahanmath · 1390/6/17

همه توابع

$f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$

را بیابید که برای هر دو عدد حقیقی x,y

$f(x+f(x+y)) = f(x-y) +f(x) ^2$

(2011 Poland)

Aref · 1390/7/2

پاسخ : f(x+f(x+y)) = f(x-y) +f(x) ^2 JUST 4 FUN

نشان می دهیم تنها تابع

$f(x)=0$

در معادله بالا صدق می کند.

قرار دهید

$y=0$

. به دست می آید

$f(x+f(x))=f(x)+f(x)^2$

اکنون قرار دهید:

$y=-f(z),x=z+f(z)$

.

به دست می آید:

$f(z+f(z)+f(z))=f(z+f(z)-(-f(z)))+f(z+f(z))^2$

که نتیجه می دهد:

$\forall x\in \mathbb R; f(x+f(x))=0$

بنابراین:

$\forall x\in \mathbb R; f(x)+f(x)^2=0\Rightarrow \forall x\in \mathbb R;f(x)\in \{-1,0\}$

تابع

$f(x)=-1$

در معادله ی داده شده صدق نمی کند. پس

$c$

ای وجود دارد که:

$f(c)=0$

.

داریم:

$f(x-y)+f(x)^2\in \{-1,0\}$

پس اگر

$f(x-y)=0$

آنگاه داریم

$f(x)=0$

.

برای هر عدد حقیقی

$x$

قرار دهید:

$y=x-c$

. به دست می آید که

$\forall x\in \mathbb R;f(x)=0$

.

پس تنها تابع

$f(x)=0$

در معادله ی داده شده صدق می کند. اثبات به پایان می رسد.