f(x+f(y+z))+...=2y

M_Sharifi · 1389/6/22

یه سوال:
همه ی توابع

$f:\Bbb R\to\Bbb R$

را بیابید که برای هر سه عدد حقیقی

$x,y,z$

،

[center:e8dbf23a42]

$f(x+f(y+z))+f(f(x+y)+z)=2y$

[/center:e8dbf23a42]

mrbayat · 1389/6/22

طبق صورت سوال 3 معادله ی زیر را می نویسیم:

$\left\{\begin{matrix} f(x+f(y+z))+f(f(x+y)+z)=2y \rightarrow (1)\\ f(x+f(y+z))+f(f(x+z)+y)=2z\rightarrow (2) \\ f(y+f(x+z))+f(f(x+y)+z)=2x \rightarrow (3) \end{matrix}\right.$

$(1)-(2)+(3)\Rightarrow f(x+f(y+z))=y+z-x\overset{z\rightarrow 0}{\Rightarrow} f(x+f(y))=y-x$

$\overset{x\rightarrow 0}{\Rightarrow} f(f(y))=y$

$y-x=f(x+f(y))\Rightarrow f(y-x)=f(f(x+f(y)))=x+f(y)$

$\Rightarrow f(-x)=x+f(0)\Rightarrow f(x)=-x+f(0),f(0)=a\Rightarrow f(x)=a-x$

[center:5c805acef7]

$\forall x\in \mathbb{R}:f(x)=a-x$

[/center:5c805acef7]

f(x+f(y+z))+...=2y

M_Sharifi

راهبر ریاضی

mrbayat

New Member