labcl=1

mrbayat · 1389/7/20

a,b,c اعدادی حقیقی و متمایزند.اگر داشته باشیم:
[center:f96bb6809d]

$a+\frac{1}{b}=b+\frac{1}{c}=c+\frac{1}{a}$

ثابت کنید:

$\left | abc \right |=1$

[/center:f96bb6809d]

IMOgoldmedal · 1389/7/23

اگر سه طرف را در

$abc$

ضرب کنیم خواهیم داشت:

$a^{2}bc+ac=ab^{2}c+ab=abc^{2}+bc$

پس می توان گفت:

$a^{2}bc-ab^{2}c=ab-ac \Rightarrow abc(a-b)=a(b-c)$

$ab^{2}c-abc^{2}=bc-ab \Rightarrow abc(b-c)=b(c-a)$

$abc^{2}-a^{2}bc=ac-bc \Rightarrow abc(c-a)=c(a-b)$

با ضرب طرف های راست و چپ این تساوی داریم:

$(abc)^{3}(a-b)(b-c)(c-a)=abc(b-c)(c-a)(a-b)$

چون a , b , c اعدادی متمایزند پس می توان گفت

$(a-b),(b-c),(c-a)$

مخالف صفرند. پس می توان
آنها را از دو طرف معادله خط زد.

$(abc)^{2}=1 \Rightarrow \left | abc \right |=1$