M,L,K همخطند(متوسط برای آمادگی مرحله ی دوم)

[seifi_seifi]

در مثلث ABC نیمساز B دایره ی محیطی ABC را در M و ضلع BC را در D قطع میکند. از D خطی عمود بر BC رسم میکنیم تا دایره ی محیطی

(کمان BC که شامل A نیست) را در K قطع کند.از B خطی بر AK عمود میکنیم و امتداد میدهیم تا BC را در L قطع کنند.

ثابت کنید M,L,K همخطند.

 

[sabbasizadeh]

محل تقاطع BL و AK را R مینامیم
محل تقاطع BC و DK را S مینامیم

واضح است که BRSK محاطی است
حالا ثابت می‌کنیم KDL=KBL (زاویه)
پس AKL=ABM (زاویه)
یعنی‌ L,K و M هم خط اند

 

[Aref]

راه حل دیگر(ارائه شده توسط من و Saham_74)
خط KM را رسم کرده تا خط AC را در L قطع کند. ثابت می کنیم خط BL بر AK عمود است.

.
و می دانیم:

.
که نتیجه می دهد 4ضلعی

محاطی است. یعنی زوایای

و

برابرند. محل تقاطع BL و AK را N و محل تقاطع BD و AN را Pو محل تقاطع BCو KM را
Q می نامیم. به سادگی مشخص می شود زوایای KQM و BPN برابرند پس مثلث های BPN,KMQ متشابه اند. و چون

پس:

.