Tavazi

[Eskandari]

P,Q do noghteye mozdavaj hamzavi'e darune mosallase ABC hastand.
O[SUB]1[/SUB], O[SUB]2[/SUB], O[SUB]3 [/SUB]be tartib markazhaye dayerehaye mohiti'e mosallashaye PAB, PBC, PCA hastand. O markaze dayereye mohiti'e masallase O[SUB]1[/SUB]O[SUB]2[/SUB]O[SUB]3 [/SUB]ast.
O' ham baraye Q mesle O baraye P tarif mishavad.
neshan dahid PQ ba OO' movazi ast

 

[Olympiad]

سلام دوست عزيز . فينگليش بر خلاف قوانين سايت هست وبايد متون شما فارسي باشد .(البته با اجازه از آقاي خلينا)

 

[shoki]

چند مسٔله را اثبات می‌کنم تا به حکم برسم ...
ابتد توجه کنید که من اسم نقطه ی O رو به K و اسم نقطه ی O` رو به L تغییر دادم.
در درجهٔ اول :
۱-اثبات کنید که O_1O'_1,O_2O'_2,O_3O'_3 همرسند.
این موضوع بسیار بدیهیست و از آنجا نتیجه میشود که این سه خط عمودمنصفهای ABC میباشند و بنابرین در O همرسند.
۲-اثبات کنید که محور همسانی این دو مثلث یعنی‌ O_1O_2O_3 و O'_1O'_2O'_3 در اصل عمود منصف PQ می‌باشد.
این موضوع نیز بدیهیست .ابتدا توجه کنید که اگر محل برخورد O_3O_2 و O'_3O'_2 رو H بنامیم آنگاه چون H نقطه ی برخورد عمود منصفهای دو ضلع AP و AQ هست پس H مرکز دایرهٔ محیطی APQ هست و بنابرین H روی عمود منصف PQ قرار دارد.به همین ترتیب برای دو نقطه ی دیگر نتیجه میشود که این ۳ نقطه بر روی عمود منصف PQ میباشند.
۳- اثبات کنید که H و دو نقطه ی همانند آن بر محور اصلی دو دایرهٔ (K) و (L) قرار دارند.
چون HO_3O'_3=PAB=QAC=HO'_2O_2 پس ۴ ضلعی O_3O'_3O_2O'_2 محاطی هست و در نتیجه
O_3H . HO_2 = O'_3H . H O'_2 و در نتیجه قوت نقطه ی H نسبت به دو دایرهٔ (K) و (L) یکسان بوده و نتیجه میشود که محور همسانی در واقع محور اصلی (K) و (L) هست.
۴-حکم را نتیجه بگیرید .
چون محور همسانی بر PQ عمود هست و از طرفی‌ به دلیل آنچه مطرح شد بر KL نیز عمود است پس KL ||PQ .
پس حکم اثبات میشود.
البته به نظر می رسد که که O روی KL هست. و از طرفی‌ (K) و (L) و (O) همگی‌ هم محورند.