AHZolfaghari

Well-Known Member
ارسال ها
935
لایک ها
1,654
امتیاز
93
#1
سوالات آزمون جبر :
سوال دو : تمامی توابع پیوسته f از اعداد حقیقی نامنفی به خودش را بیابید که :





سوال چهار :
a,b,c اعدادی مثبت هستند بطوریکه


ثابت کنید



این پست به روزرسانی خواهد شد !

باتشکر از آقای بهروز و آقای پویا

طبیعتا هر کی سوالی رو میدونه اینجا لطفا بذاره !!!
 
آخرین ویرایش توسط مدیر

math1998

New Member
ارسال ها
336
لایک ها
224
امتیاز
0
#2
پاسخ : سوالات مرحله سوم سی و دومین المپیاد ریاضی ایران 92-93

سوالات آزمون جبر :
سوال دو : تمامی توابع پیوسته f از اعداد حقیقی نامنفی به خودش را بیابید که :





سوال چهار :
a,b,c اعدادی مثبت هستند بطوریکه


ثابت کنید



این پست به روزرسانی خواهد شد !

باتشکر از آقای بهروز و آقای پویا







با حل معادلات
داریم
که با جایگذاری و ادامه دادن حل مسئله داریم

که صدق هم میکنه اگه راه حل کافی نیست بقیش هم بنویسم !!!
 
آخرین ویرایش توسط مدیر

AHZolfaghari

Well-Known Member
ارسال ها
935
لایک ها
1,654
امتیاز
93
#3
پاسخ : سوالات مرحله سوم سی و دومین المپیاد ریاضی ایران 92-93








با حل معادلات
داریم
که با جایگذاری و ادامه دادن حل مسئله داریم

که صدق هم میکنه اگه راه حل کافی نیست بقیش هم بنویسم !!!
من فکر نمی کنم همین جوری بشه رسید به x+1 . راخ حلتو بنویس به نظر من !

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----








با حل معادلات
داریم
که با جایگذاری و ادامه دادن حل مسئله داریم

که صدق هم میکنه اگه راه حل کافی نیست بقیش هم بنویسم !!!
من فکر نمی کنم همین جوری بشه رسید به x+1 . راخ حلتو بنویس به نظر من !
بعدشم حل معادله چهار و پنج فقط میگه یکی دو برابر دیگری است
 
آخرین ویرایش توسط مدیر

math1998

New Member
ارسال ها
336
لایک ها
224
امتیاز
0
#4
پاسخ : سوالات مرحله سوم سی و دومین المپیاد ریاضی ایران 92-93

من فکر نمی کنم همین جوری بشه رسید به x+1 . راخ حلتو بنویس به نظر من !

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----


من فکر نمی کنم همین جوری بشه رسید به x+1 . راخ حلتو بنویس به نظر من !
بعدشم حل معادله چهار و پنج فقط میگه یکی دو برابر دیگری است
وقتی یکی 2 بربر دیگری باشه از معادله 4 بدست میاد c=1 , a=2 راه حل رو مینویسم تا چند دقیقه دیگه .
 

REZA 73

Active Member
ارسال ها
139
لایک ها
184
امتیاز
43
#5
پاسخ : سوالات مرحله سوم سی و دومین المپیاد ریاضی ایران 92-93

سوالات آزمون جبر :
سوال دو : تمامی توابع پیوسته f از اعداد حقیقی نامنفی به خودش را بیابید که :





سوال چهار :
a,b,c اعدادی مثبت هستند بطوریکه


ثابت کنید



این پست به روزرسانی خواهد شد !

باتشکر از آقای بهروز و آقای پویا

طبیعتا هر کی سوالی رو میدونه اینجا لطفا بذاره !!!
سوال 4 با لاگرانژ راحت حل میشه:



حالا نتیجه میشه:



که نتیجه میشه a=b=c
از طرفی باید شرایط مرزی رو هم چک کنیم.اگر دوتا از متغیرها 0 باشند که حکم بدیهیه. اگه یکی هم صفر باشه باز هم ساده است:
فرض خلف:
اون سمت نامساوی هم که دیگه بدیهیه.
 

math1998

New Member
ارسال ها
336
لایک ها
224
امتیاز
0
#6
پاسخ : سوالات مرحله سوم سی و دومین المپیاد ریاضی ایران 92-93

من فکر نمی کنم همین جوری بشه رسید به x+1 . راخ حلتو بنویس به نظر من !

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----


من فکر نمی کنم همین جوری بشه رسید به x+1 . راخ حلتو بنویس به نظر من !
بعدشم حل معادله چهار و پنج فقط میگه یکی دو برابر دیگری است
عجیبه تابعش اصلا متقارن نیست اما هرچی میذارم بدیهی میشه احتمالا با توجه به رابطه
و استقرا رو طبیعیا اثبات کنیم .




فقط میمونه واسه اونایی که گویا نیستن که با پیوستگی میشه :
برای عدد گنگ
فرض کنیم دو عدد گویای
بی نهایت بار به ان نزدیک باشند

این اخر رو یادم رفته بود که Dadgarnia@ اشاره کردن .
 
آخرین ویرایش توسط مدیر

Dadgarnia

New Member
ارسال ها
1,350
لایک ها
1,127
امتیاز
0
#7
پاسخ : سوالات مرحله سوم سی و دومین المپیاد ریاضی ایران 92-93

سوالات آزمون جبر :
سوال دو : تمامی توابع پیوسته f از اعداد حقیقی نامنفی به خودش را بیابید که :





سوال چهار :
a,b,c اعدادی مثبت هستند بطوریکه


ثابت کنید



این پست به روزرسانی خواهد شد !

باتشکر از آقای بهروز و آقای پویا

طبیعتا هر کی سوالی رو میدونه اینجا لطفا بذاره !!!
سوال دو:تعريف مي كنيم
پس (g(x هم پيوسته است و دامنه اش هم اعداد نامنفي و بردش اعداد بزرگتر مساوي 1- . با جايگذاري اين رابطه در صورت سوال داريم:

رابطه ي بالا را
نامگذاري مي كنيم پس داريم:

واضح است كه g ثابت نيست پس بايد داشته باشيم
با توجه به روابط به دست آمده داريم:

با استفاده از اين رابطه و به طور استقرايي مي توانيم بدست بياوريم
براي هر عدد صحيح نامنفي. از طرفي با جايگذاري اين رابطه در (P(x,y داريم:

فرض كنيد p,q دو عدد صحيح نامنفي باشند كه q يك نيست. در رابطه ي بالا قرار مي دهيم
كه بدست مي آيد:
پس براي همه ي اعداد گويا ي نامنفي ثابت شد
حالا با توجه به پيوستگي g براي هر عدد حقيقي نامنفي نتيجه مي گيريم

فقط میمونه واسه اونایی که گویا نیستن به نظرت با پیوستگی میشه ؟
بله فقط كافيه دو عدد گوياي p,q رو از چپ و راست به عدد حقيقي دلخواه r اينقدر نزديك كنيم كه بازه ي
به حد كافي كوچيك باشه.
سوال چهار: فكر كنم صورت درست سوال اعداد نامنفي باشه. فرض كنيد
باشه پس داريم:

كه طرف چپ نامساوي رو نتيجه ميده و و طرف راست هم كه واضحه. حالا فرض كنيد
پس داريم:




كه صحيح است. حالا طرف چپ رو اثبات مي كنيم. مانند قبل مي توانيم نتيجه بگيريم
پس داريم:
 
آخرین ویرایش توسط مدیر

AHZolfaghari

Well-Known Member
ارسال ها
935
لایک ها
1,654
امتیاز
93
#8
پاسخ : سوالات مرحله سوم سی و دومین المپیاد ریاضی ایران 92-93

سوال 4 با لاگرانژ راحت حل میشه:



حالا نتیجه میشه:



که نتیجه میشه a=b=c
از طرفی باید شرایط مرزی رو هم چک کنیم.اگر دوتا از متغیرها 0 باشند که حکم بدیهیه. اگه یکی هم صفر باشه باز هم ساده است:
فرض خلف:
اون سمت نامساوی هم که دیگه بدیهیه.
ببخشید کلا چیکار کردید ؟؟؟؟
اولشو نفهمیدم اصلا

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوال دو:تعريف مي كنيم
پس (g(x هم پيوسته است و دامنه اش هم اعداد نامنفي و بردش اعداد بزرگتر مساوي 1- . با جايگذاري اين رابطه در صورت سوال داريم:

رابطه ي بالا را
نامگذاري مي كنيم پس داريم:

واضح است كه g ثابت نيست پس بايد داشته باشيم
با توجه به روابط به دست آمده داريم:

با استفاده از اين رابطه و به طور استقرايي مي توانيم بدست بياوريم
براي هر عدد صحيح نامنفي. از طرفي با جايگذاري اين رابطه در (P(x,y داريم:

فرض كنيد p,q دو عدد صحيح نامنفي باشند كه q يك نيست. در رابطه ي بالا قرار مي دهيم
كه بدست مي آيد:
پس براي همه ي اعداد گويا ي نامنفي ثابت شد
حالا با توجه به پيوستگي g براي هر عدد حقيقي نامنفي نتيجه مي گيريم


بله فقط كافيه دو عدد گوياي p,q رو از چپ و راست به عدد حقيقي دلخواه r اينقدر نزديك كنيم كه بازه ي
به حد كافي كوچيك باشه.
سوال چهار: فكر كنم صورت درست سوال اعداد نامنفي باشه. فرض كنيد
باشه پس داريم:

كه طرف چپ نامساوي رو نتيجه ميده و و طرف راست هم كه واضحه. حالا فرض كنيد
پس داريم:




كه صحيح است. حالا طرف چپ رو اثبات مي كنيم. مانند قبل مي توانيم نتيجه بگيريم
پس داريم:
با میکسینگ هم حل میشه

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوال دو:تعريف مي كنيم
پس (g(x هم پيوسته است و دامنه اش هم اعداد نامنفي و بردش اعداد بزرگتر مساوي 1- . با جايگذاري اين رابطه در صورت سوال داريم:

رابطه ي بالا را
نامگذاري مي كنيم پس داريم:

واضح است كه g ثابت نيست پس بايد داشته باشيم
با توجه به روابط به دست آمده داريم:

با استفاده از اين رابطه و به طور استقرايي مي توانيم بدست بياوريم
براي هر عدد صحيح نامنفي. از طرفي با جايگذاري اين رابطه در (P(x,y داريم:

فرض كنيد p,q دو عدد صحيح نامنفي باشند كه q يك نيست. در رابطه ي بالا قرار مي دهيم
كه بدست مي آيد:
پس براي همه ي اعداد گويا ي نامنفي ثابت شد
حالا با توجه به پيوستگي g براي هر عدد حقيقي نامنفي نتيجه مي گيريم


بله فقط كافيه دو عدد گوياي p,q رو از چپ و راست به عدد حقيقي دلخواه r اينقدر نزديك كنيم كه بازه ي
به حد كافي كوچيك باشه.
سوال چهار: فكر كنم صورت درست سوال اعداد نامنفي باشه. فرض كنيد
باشه پس داريم:

كه طرف چپ نامساوي رو نتيجه ميده و و طرف راست هم كه واضحه. حالا فرض كنيد
پس داريم:




كه صحيح است. حالا طرف چپ رو اثبات مي كنيم. مانند قبل مي توانيم نتيجه بگيريم
پس داريم:
با میکسینگ هم حل میشه
 
آخرین ویرایش توسط مدیر

REZA 73

Active Member
ارسال ها
139
لایک ها
184
امتیاز
43
#9
پاسخ : سوالات مرحله سوم سی و دومین المپیاد ریاضی ایران 92-93

کلا کاری نکردم. از روش لاگرانژ استفاده کردم.اگه حکم و شرط مساله رو تابع در نظر بگیریم اونوقت در نقاط بحرانی تابع مشتق تابع حکم نست به a برابر ضریبی از مشتق تابع شرط نسبت به a هست. این در مورد b و c هم برقراره و در ضمن اون ضریبه هم ثابته برای هر سه متغیر.
از طرفی نقاط مرزی هم ( مثلا یکی رو صفر بذاریم) نقاط بحرانی هستند. با بررسی نقاط بحرانی کوچکترین میشه min تابع و بزرگترین میشه max تابع.

در کتاب استراتژی های جبر در المپیاد ریاضی نوشته محمد جعفری کاملا توضیح داده شده این روش.
 
آخرین ویرایش توسط مدیر

TheOverlord

New Member
ارسال ها
159
لایک ها
282
امتیاز
0
#10
پاسخ : سوالات مرحله سوم سی و دومین المپیاد ریاضی ایران 92-93

سوال دو:تعريف مي كنيم
پس (g(x هم پيوسته است و دامنه اش هم اعداد نامنفي و بردش اعداد بزرگتر مساوي 1- . با جايگذاري اين رابطه در صورت سوال داريم:

رابطه ي بالا را
نامگذاري مي كنيم پس داريم:

واضح است كه g ثابت نيست پس بايد داشته باشيم
با توجه به روابط به دست آمده داريم:

با استفاده از اين رابطه و به طور استقرايي مي توانيم بدست بياوريم
براي هر عدد صحيح نامنفي. از طرفي با جايگذاري اين رابطه در (P(x,y داريم:

فرض كنيد p,q دو عدد صحيح نامنفي باشند كه q يك نيست. در رابطه ي بالا قرار مي دهيم
كه بدست مي آيد:
پس براي همه ي اعداد گويا ي نامنفي ثابت شد
حالا با توجه به پيوستگي g براي هر عدد حقيقي نامنفي نتيجه مي گيريم


بله فقط كافيه دو عدد گوياي p,q رو از چپ و راست به عدد حقيقي دلخواه r اينقدر نزديك كنيم كه بازه ي
به حد كافي كوچيك باشه.
سوال چهار: فكر كنم صورت درست سوال اعداد نامنفي باشه. فرض كنيد
باشه پس داريم:

كه طرف چپ نامساوي رو نتيجه ميده و و طرف راست هم كه واضحه. حالا فرض كنيد
پس داريم:




كه صحيح است. حالا طرف چپ رو اثبات مي كنيم. مانند قبل مي توانيم نتيجه بگيريم
پس داريم:
آيا از راه حلتان اطمينان داريد؟ زيرا ميتوانيم c را به طور حدي به صفر نزديك كنيم ولي هيچگاه به آن نرسد، در اين صورت هر اندازه كه بخواهيم ميتوانيم به حالت تساوي كه همان (1,1,0) است نزديك شويم و فرض شما هم درست ميماند، اما شما نابرابري اكيد را ثابت كرده ايد!
اگر ممكن است كمي بيشتر در مورد نامساوي اول خط آخر توضيح ميدهيد؟
 

aras2213

New Member
ارسال ها
216
لایک ها
228
امتیاز
0
#11
پاسخ : سوالات مرحله سوم سی و دومین المپیاد ریاضی ایران 92-93

سوال 3:
چندجمله هایی با ضرایب حقیقی هستند که برای هر z که مختلط باشد
مقداری حقیقی است.ثابت کنید q مضربی حقیقی از p است.(25 امتیاز)
سوال 2(15 امتیاز)
سوال 4(20 امتیاز)
 
آخرین ویرایش توسط مدیر

math

New Member
ارسال ها
1,129
لایک ها
1,096
امتیاز
0
#12
پاسخ : سوالات مرحله سوم سی و دومین المپیاد ریاضی ایران 92-93

سوال 3:
چندجمله هایی با ضرایب حقیقی هستند که برای هر z که مختلط باشد
مقداری حقیقی است.ثابت کنید q مضربی حقیقی از p است.(25 امتیاز)
سوال 2(15 امتیاز)
سوال 4(20 امتیاز)
سوال 5 رو هم میتونید از این جا ببینید . AoPS Forum - Good polynomials • Art of Problem Solving

25 امتیاز داشت .

نکته 1 : به طور کلی فکر کنم بد ترین امتحان مرحله 3 همین جبرش بود . سوالات مشابه اینا قبلا توی خود ایران بوده ! برای مثال سوال بالا رو اقای جلالی لینک سوال مشابهش رو دادن . یا سوالی که ارس گذاشته یکی از سوالای مرحله 3 سال 2006 یا 2007 شباهت خیلی زیادی داره باهاش !

نکته 2 : طراح سوال 1 اقای صلواتی و بقیه سوالات اقای احمدی هستند . ( سوال 3 یک روز قبل از امتحان طرح شده بوده !!!)

نکته 3 : اینا که فقط سوالای جبرن !! لطفا یکی کل سوالات رو توی ml هم بذاره . ( اگر کسی حال این کار رو داره ولی سوالات رو نداره بگه من سوالات رو براش ایمیل کنم . )
 

Dadgarnia

New Member
ارسال ها
1,350
لایک ها
1,127
امتیاز
0
#13
پاسخ : سوالات مرحله سوم سی و دومین المپیاد ریاضی ایران 92-93

سوال 3:
چندجمله هایی با ضرایب حقیقی هستند که برای هر z که مختلط باشد
مقداری حقیقی است.ثابت کنید q مضربی حقیقی از p است.(25 امتیاز)
سوال 2(15 امتیاز)
سوال 4(20 امتیاز)
فرض می کنیم
پس داریم:

می دانیم که
پس برای حقیقی شدن عبارت بالا باید داشته باشیم:

پس چند جمله ای بالا بی نهایت ریشه دارد پس باید تمام ضرایبش صفر باشد و می دانیم
پس
است و داریم:

و به همین ترتیب می توانیم بدست بیاوریم
که حکم را نتیجه می دهد.
 

math

New Member
ارسال ها
1,129
لایک ها
1,096
امتیاز
0
#14
پاسخ : سوالات مرحله سوم سی و دومین المپیاد ریاضی ایران 92-93

فرض می کنیم
پس داریم:

می دانیم که
پس برای حقیقی شدن عبارت بالا باید داشته باشیم:

پس چند جمله ای بالا بی نهایت ریشه دارد پس باید تمام ضرایبش صفر باشد و می دانیم
پس
است و داریم:

و به همین ترتیب می توانیم بدست بیاوریم
که حکم را نتیجه می دهد.

ببخشید قسمت های حقیقی نمیتونن در قسمت موهومی ضرب شن ؟
 

Dadgarnia

New Member
ارسال ها
1,350
لایک ها
1,127
امتیاز
0
#15
پاسخ : سوالات مرحله سوم سی و دومین المپیاد ریاضی ایران 92-93

ببخشید قسمت های حقیقی نمیتونن در قسمت موهومی ضرب شن ؟
منظورتونو متوجه نمی شم من اومدم
رو به شکل
در آوردم که a,b حقیقین پس برای حقیقی شدن باید ضریب i صفر باشه.
 

math

New Member
ارسال ها
1,129
لایک ها
1,096
امتیاز
0
#16
پاسخ : سوالات مرحله سوم سی و دومین المپیاد ریاضی ایران 92-93

منظورتونو متوجه نمی شم من اومدم
رو به شکل
در آوردم که a,b حقیقین پس برای حقیقی شدن باید ضریب i صفر باشه.
فکر میکنم دو عبارت رو به صورت اشتباهی ضرب کردید . :3:
 

Dadgarnia

New Member
ارسال ها
1,350
لایک ها
1,127
امتیاز
0
#17
پاسخ : سوالات مرحله سوم سی و دومین المپیاد ریاضی ایران 92-93

فکر میکنم دو عبارت رو به صورت اشتباهی ضرب کردید . :3:
نتیجه ی اشتباهی گرفتم؟ راه حلمو که اون بالا نوشتم بگید کجاشو اشتباه ضرب کردم چون به نظر خودم که درست میاد.
 

AHZolfaghari

Well-Known Member
ارسال ها
935
لایک ها
1,654
امتیاز
93
#18
پاسخ : سوالات مرحله سوم سی و دومین المپیاد ریاضی ایران 92-93

سوالات کامل آزمون جبر :

AoPS Forum - Iranian 3rd round Algebra exam • Art of Problem Solving

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

صورت فارسی سوال یک :
یک مثلث متساوی الاضلاع داریم با شعاع دایره محیطی یک.
یه نقطه توش داریم به نام P
نقطه P رو جوری معین کنید که اگه یه دایره بزنیم به مرکز P و شعاع یک ، مجموع قسمت هایی از اضلاع مثلث که داخل دایره هستند حداکثر شه . ( اضلاع رو امتداد دادیم در واقع . امتدادشون رو هم قطع کنه حساب میشه ) راهنمایی مجموع فواصل p از سه ضلع مثلث متساوی الاضلاع ثابت است

سوال5 : میگه یه چندجمله ای با ضرایب حقیق رو میگیم خوبه اگه
. میگه اثبات کنید چند جمله ای های خوب r,s با ضرایب حقیقی وجود دارند که به ازای هر چندجمله ای خوب p ، چندجمله ای با ضرایب حقیقی f وجود داشته باشه که

@Dadgarnia
 
آخرین ویرایش توسط مدیر

Dadgarnia

New Member
ارسال ها
1,350
لایک ها
1,127
امتیاز
0
#19
پاسخ : سوالات مرحله سوم سی و دومین المپیاد ریاضی ایران 92-93

صورت فارسی سوال یک :
یک مثلث متساوی الاضلاع داریم با شعاع دایره محیطی یک.
یه نقطه توش داریم به نام P
نقطه P رو جوری معین کنید که اگه یه دایره بزنیم به مرکز P و شعاع یک ، مجموع قسمت هایی از اضلاع مثلث که داخل دایره هستند حداکثر شه . ( اضلاع رو امتداد دادیم در واقع . امتدادشون رو هم قطع کنه حساب میشه ) راهنمایی مجموع فواصل p از سه ضلع مثلث متساوی الاضلاع ثابت است

سوال5 : میگه یه چندجمله ای با ضرایب حقیق رو میگیم خوبه اگه
. میگه اثبات کنید چند جمله ای های خوب r,s با ضرایب حقیقی وجود دارند که به ازای هر چندجمله ای خوب p ، چندجمله ای با ضرایب حقیقی f وجود داشته باشه که

@Dadgarnia
سوال يك:
مي دونيم مجموع فاصله هاي يك نقطه درون مثلث متساوي الاضلاع از اضلاع مثلث برابر با ارتفاع مثلث است. پس فرض كنيد فاصله ي نقطه ي p از اضلاع مثلث برابر با a,b,c باشه. پس طول يك قسمت از ضلع هاي مثلث متساوي الاضلاع كه داخل دايره است برابره با
پس ما بايد حداكثر عبارت
با شرط
را بيابيم. ثابت مي كنيم اين مقدار برابره با
. با استفاده از نامساوي واسطه ي حسابي-مربعي داريم:

كه بديهي است. پس نقطه ي p همان مركز دايره ي محيطي است.
 

math

New Member
ارسال ها
1,129
لایک ها
1,096
امتیاز
0
#20
پاسخ : سوالات مرحله سوم سی و دومین المپیاد ریاضی ایران 92-93

سوال يك:
مي دونيم مجموع فاصله هاي يك نقطه درون مثلث متساوي الاضلاع از اضلاع مثلث برابر با ارتفاع مثلث است. پس فرض كنيد فاصله ي نقطه ي p از اضلاع مثلث برابر با a,b,c باشه. پس طول يك قسمت از ضلع هاي مثلث متساوي الاضلاع كه داخل دايره است برابره با
پس ما بايد حداكثر عبارت
با شرط
را بيابيم. ثابت مي كنيم اين مقدار برابره با
. با استفاده از نامساوي واسطه ي حسابي-مربعي داريم:

كه بديهي است. پس نقطه ي p همان مركز دايره ي محيطي است.

راه حلتون کاملا درست نیست !!! ممکنه دایره تنها دو ضلع رو قطع کنه !
 
بالا