IRYSC-team

مدیر آیریسک
ارسال ها
349
لایک ها
683
امتیاز
93
#1
سلام به همه‌ی علاقه‌مندان المپیاد ریاضی
این تاپیک ویژه‌ی سؤالات جبر ممتاز است و با قوانین ویژه‌ی لیگ پیش می‌رود.

قانون‌ها:
  1. شماره سؤال یا پاسخ را بزرگ در ابتدای هر ارسال بنویسید.
  2. تا وقتی سؤالی پاسخ داده نشده، سراغ سؤال بعدی نروید.
  3. هر کس می‌تواند در اینجا سؤال یا پاسخ بگذارد.
  4. برای نوشتن معادلات، حتماً از فرمول‌نویس تالار استفاده کنید.
  5. راه حل خودتان را بنویسید و به جایی لینک ندهید.
موفق باشید :cool:
 

Rayan_sayyah

New Member
ارسال ها
11
لایک ها
3
امتیاز
3
#2
سوال ۱

لیگ جبر ممتاز!

\( a,b,c,d\in\mathbb{R} \) و \( \left|a\right|,\left|b\right|,\left|c\right|,\left|d\right|>1 \)
همچنین \( abc+abd+acd+bcd+a+b+c+d=0 \)
ثابت کنید \[ {\textstyle\sum_{\displaystyle\frac1{a-1}}}>0 \]
 

Rayan_sayyah

New Member
ارسال ها
11
لایک ها
3
امتیاز
3
#3
پاسخ سوال 1 لیگ جبر ممتاز!

با توجه به فرض نتیجه میگیریم: \( (a + 1)(b + 1)(c + 1)(d + 1) = (a - 1)(b - 1)(c - 1)(d - 1) \)
چون \( a, b, c, d \notin [-1, 1] \) نتیجه میگیریم اعداد \( \tfrac{a + 1}{a - 1}, \tfrac{b + 1}{b - 1}, \tfrac{c + 1}{c - 1}, \tfrac{d + 1}{d - 1} \) مثبت هستند
میدانیم \[ \frac {1} {a-1}+\frac {1} {b-1}+ \frac {1} {c-1}+ \frac {1} {d-1} \]
\[ =\frac{1}{2}\left(\frac {a+1} {a-1}+\frac {b+1} {b-1}+\frac {c+1} {c-1}+\frac {d+1} {d-1}\right)-2 \]
\[ >2\sqrt[4]{ \frac {a+1} {a-1}\cdot \frac {b+1} {b-1}\cdot\frac {c+1} {c-1}\cdot\frac {d+1} {d-1}}-2=0. \]
پس نامساوی بالا طبق حسابی هندسی و اینکه \( \frac {a+1} {a-1}\cdot \frac {b+1} {b-1}\cdot\frac {c+1} {c-1}\cdot\frac {d+1} {d-1} \) با توجه به تساوی اول راه حل برابر یک است برقرار است.
 
بالا