منحنی های عمود بر هم

[seyed iman]

سلام.
به یک مطلب خیلی جالب چالش برانگیز و قشنگ رسیدم که خیلی جای بحث داره.
کاربرد فیزیکی این مطلب در پیدا کردن سطوح هم پتانسیل و خطوط میدان از روی هم هست.
پیدا کردن منحنی های متعامد
سوال:یک خانواده از منحنی ها داریم(مثلن یک سری بیضی با مراکز مشترک) میخوایم خانواده ای از منحنی ها پیدا کنیم که همواره به اینا عمود باشند .(مثلن یکی از خم های اون خانواده همه بیضی ها رو قطع میکنه و همه جا به اون بیضی ای که داره قطع میکنه عموده)
خب باید چی کار کنیم؟اشتباه رایجی که ممکنه رخ بده چیه؟
با مثال قضیه روشن تر میشه:
1)سطوح متعامد سهمی هایی هم مرکز.
2)سطوح متعامد بیضی هایی با قطر بزرگ یکسان.
3)سطوح متعامد بیضی هایی با مرکز(c) یکسان.(برای میله باردار کاربرد داره-یا بیضی گون رسانا!!)
4)سطوح متعامد یک دسته خط که از مبدا میگذرد.(و برعکسش)
پس از بررسی خم های بالا روش بحث میکنیم.(و سعی میکنیم یک روش خوب -الگوریتم- برای حالت کلی پیدا کنیم)

 

[orion]

پاسخ : منحنی های عمود بر هم

خب یه کاری که من دیدم میکنن:میان ضمنی مشتق میگیرن بعد شرط عمود بودن(قرینه و معکوس بودن شیب ها)رو اعمال میکنن بعد هم یه معادله دیفرانسیل میده
منظورتون همین بود؟؟

 

[H O S E I N]

پاسخ : منحنی های عمود بر هم

من به یه چیزایی رسیدم ... فرض کنیم معادله ی سطح ما به صورت زیر باشه :

​

بردار یکه ی عمود بر رویه :

​

​

منحنی عمود بر رویه در نقطه :

​

​

این رابطه معادله ی یک منحنی عمود بر یک سطح رو میده ...

اما منحنی عمود بر یک دسته سطح رو نمیدونم چیکار کنیم ... و البته فکر نمیکنم قائده ی کلی وجود داشته باشه ... برای هر حالت خاص شاید بشه کاری کرد.​

 

[seyed iman]

پاسخ : منحنی های عمود بر هم

من به یه چیزایی رسیدم ... فرض کنیم معادله ی سطح ما به صورت زیر باشه :

​

بردار یکه ی عمود بر رویه :

​

​

منحنی عمود بر رویه در نقطه :

​

​

این رابطه معادله ی یک منحنی عمود بر یک سطح رو میده ...

اما منحنی عمود بر یک دسته سطح رو نمیدونم چیکار کنیم ... و البته فکر نمیکنم قائده ی کلی وجود داشته باشه ... برای هر حالت خاص شاید بشه کاری کرد.​

جواب اوریون:همون طور که گفتم اشتباه رایجیه.کاملن غلطه.
همیلتون:منحنی عمود بر یک سطح چجوری تعریف میشه؟؟فقط میخواد تو یک نقطه تماسش به اون عمود باشه بجز اون هر چیزی میتونه باشه.بعدش میتونه سهمی شه.خط شه.بیضی شه و..الان این معادلت رو هم برای یک سطح دلخواه بنویس...ببین چی میشه.
حالت خاص ها رو چرا بررسی نمیکنید؟
بیضی ها ی هم کانون باید بشه هذلولی(میشه با بررسی مساله میله باردار بررسیش کرد>>سطوح هم پتانسیل بیضی>>خطوط میدان هذلولیه).

 

[H O S E I N]

پاسخ : منحنی های عمود بر هم

دقیقا" معادله ای که من نوشتم یه معادله ی دیفرانسیل میده که میتونه یه جواب نداشته باشه. فقط شرط عمود بودن به رویه رو تضمین میکنه.

من قبلا" چک کردم.

 

[seyed iman]

پاسخ : منحنی های عمود بر هم

دقیقا" معادله ای که من نوشتم یه معادله ی دیفرانسیل میده که میتونه یه جواب نداشته باشه. فقط شرط عمود بودن به رویه رو تضمین میکنه.

من قبلا" چک کردم.

این جواب سوالی که من پرسیدم نیست.ولی جواب سوالی که خودت میگی هم نیست.
این هیچی نمیده که...یک سطح داریم ..میخوایم یک خم به این عمود باشه؟خب جواب معلومه..هر خمی که تو نقطه ای که این سطح رو قطع میکنه به صفحه مماس خم عمود باشه..حتی لازم نیست خم یک تابع تحلیلی و خوش رفتار باشه.
این معادله تو چی رو میده ؟؟همه خما رو؟؟یک سری خما رو؟اگه یک سری رو کدوما رو؟اصلن سوال مورد داره که بخوایم خمی پیدا کنیم که بر یک سطح عمود باشه.چنین خمی اصلن بطور مناسبی پیدا نمیشه...میتونه هر چیزی بشه.هر چیزی یعنی نه اینه چند تا جواب داره.یعنی همه چیز میتونه جوابش بشه..هر تابع دلخواه رو (لگاریتمی نمایی سینوسی ..هر چیزی که دلمون بخواد تقریبن) میشه جوری تعیین کرد که در نقطه تقاطعش با سطح عمود شه.این چیزی که نوشتی جالب نیست اصلن.
مثلن برای کره بنویس.خودت میفهمی.
راهنمایی!!:برای میله باردار با شار خطوط میدان رو در بیارین.بعد با پتانسیل سطوح هم پتانسیل رو.میشه هذلولی و بیضی.
بعدش بدون فیزیک بیاین برای بیضی سطوح عمود در بیارین.مثلن با روش اوریون...ببینید چی میده...(یک چیز بد میده!)...علت؟روش درست کردن این مشکل؟

 

[easter-holiday]

پاسخ : منحنی های عمود بر هم

مثلا اگر یه خط راست را در نظر بگیریم بعد کاری که اریون گفت رو بکنیم به معادله یه خط می رسیم که غلطه!!!!

مشکل اینجاست که باید ثابته رو حذف کرد .....

و در حالت کلی

می توان از این رابطه استفاده کرد :

 

[seyed iman]

پاسخ : منحنی های عمود بر هم

مثلا اگر یه خط راست را در نظر بگیریم بعد کاری که اریون گفت رو بکنیم به معادله یه خط می رسیم که غلطه!!!!

مشکل اینجاست که باید ثابته رو حذف کرد .....

و در حالت کلی

می توان از این رابطه استفاده کرد :

آفرین دقیقن نکته اش همین بود.
باید ثابته حذف شه و بر حسب شیب نوشته بشه و بعد شیب رو منفی و معکوس کنیم.
علتش هم اینه که بدیهیه که تو جواب آخر نباید اون ثابت ظاهر شه چون هر خم متعامد از همه خم های دیگه متعامد بهش میگذره.
پیدا کردن این خم هم در حالت کلی معادلاتی با مشتق جزیی میده ولی معمولن لازم نیست اونا رو حل کرد.و مثل روش بالا که هاشم گفت عمل میکنیم.