اثبات حقیقی بودن ضریب ها !

math · 1391/7/16

فرض کنید

$x_{1},x_{2},...,x_{n}$

ریشه های چند جمله ایه

$p(x)=x^{n}+a_{1}x^{n-1}+...+a_{n}$

و

$x_{1}^{2},x_{2}^{2},...,x_{n}^{2}$

ریشه های چند جمله ایه

$Q(x)=x^{n}+b_{1}x^{n-1}+...+b_{n}$

ثابت کنید اگر عبارت زیر هردو حقیقی باشند

$a_{1}+a_{3}+a_{5}+...$

و

$a_{2}+a_{4}+a_{6}+...$

انگاه

$b_{1}+b_{2}+b_{3}+...$

نیز حقیقی است

Aref · 1391/7/18

پاسخ : اثبات حقیقی بودن ضریب ها !

mathh گفت

یک خط فقط:

$(-1)^np(1)p(-1)=Q(1)$

math · 1391/7/20

پاسخ : اثبات حقیقی بودن ضریب ها !

Aref گفت

چرا این برقراره ؟

Aref · 1391/7/20

پاسخ : اثبات حقیقی بودن ضریب ها !

داریم:

$p(x)=\sum_{i=0}^{n}a_ix^i=a_n\prod_{i=1}^{n} (x-z_i)$

حالا از عبارت سمت راستی استفاده کنید تا اون نتیجه ای که گفتم رو به دست بیارید، و عبارت وسطی رو توی رابطه ی به دست اومده قرار بدید تا حکم ثابت بشه.