x^3 + y^3 = x^2 + y^2

MBGO · 1391/9/21

سلام.

تمام x,y های گویا را بیابید که x^3 + y^3 = x^2 + y^2

+

اگر راه حلی میذارید حتما چک شده بذارید.ممنون.

zz_torna2 · 1391/9/22

پاسخ : x^3 + y^3 = x^2 + y^2

از شیوه مطالب فصل 19 کتاب میرزاخانی استفاده میکنیم:
نقطه(0و0) در معاله صدق میکند
حالا ب y=mx میگذاریم که با انجام محاسبات و جاگذاری m=a/b به مجموعه جواب زیر که گویا هستش میرسیم:

$(x,y)=(\frac{a^{2}b+b^{3}}{a^{3}+b^{3}},\frac{a^{3}+ab^{2}}{a^{3}+b^{3}})$

که داریم b مخالف صفر و

$(a,b)=1$

.

zz_torna2 · 1391/9/22

پاسخ : x^3 + y^3 = x^2 + y^2

البته برای x=0 هم جواب هاش بدیهیه که میشهy=0 ,y=1

sahadian · 1391/10/12

پاسخ : x^3 + y^3 = x^2 + y^2

AoPS Forum - H 40 • Art of Problem Solving سوال مال pen h جواباشم اینجا هست

حالا هرکی · 1391/10/12

پاسخ : x^3 + y^3 = x^2 + y^2

استاد torrona شما هم اشتباه استاد shokrian رو کردین :197:؟
بزارین

$x=a/b,y=c/d$

به طوری که

$(a,b)=1,(c,d)=1$

و

اعداد صحیح اند.
داریم

$a^3d^3+b^3c^3=a^2bd^3+c^2db^3$

در نتیجه

$c^2b^3(c-d)=a^2d^3(b-a)$

که از این با توجه به اینکه

$(a,b)=1,(c,d)=1$

خواهیم داشت

$b=d$

که در نتیجه

$b(a^2+c^2)=a^3+c^3$

بنابراین

$a^2+c^2\mid a^3+c^3$

به راحتی میتونین ببینین که عوامل اول a,cیکسانند .مایند بالا را به صورت

$c^2(t-c)=a^2(a-t)$

بازنویسی میکنیم.فرض کنید

$a\neq c$

پس موجوداست عامل اول

$p$

ای از

$a,c$

که

$v_{p}(a)=\alpha ,v_{p}(c)=\beta$

و آلفا بزرگتر از بتا.پس

$p\mid t-c\Rightarrow p\mid t$

.پس داریم

$v_{p}(a^2(a-t))> v_{p}(c^2(t-c))$

که تناقض است .بنابراین

$a=c,b=d$

.
پس جوابها فقط برای

برقراره .

zz_torna2 · 1391/10/13

پاسخ : x^3 + y^3 = x^2 + y^2

چی چیو استاد. استاد که شمایین:3:

فکر کنم راهم درست باشه در مجموعه جواب من مثلا قرار بدیم a=1 ,b=2 اون وقت داریمx=10/9 و y=5/9 که در سوالم صدق میکنه.
در راه حل تون چه طوری نتیجه میشه که عوامل a ,c یکی هستند(چون مثال من اونو نقض میکنه):3:

استاد شکریان هم فکر کنم درست حل کرده باشن و منظورشون از a یک عدد گویای دلخواه هستش.

حالا هرکی · 1391/10/13

پاسخ : x^3 + y^3 = x^2 + y^2

بله درست میگید دقت نکردم ولی فک کنم بشه ادامش داد (بعد امتحان شیمیم:93

داریم که هر موقسوم علیه اول فرد a^2+c^2 باید بشماره هم aو هم c رو .بگیرین

$(a,c)=d$

,

$a=a_{1}d,c=c_{1}d$

. داریم

$a_{1}^2+c_{1}^2\mid d^2\Rightarrow a=\sqrt{(a_{1}^2+c_{1}^2)t}a_{1},c=\sqrt{(a_{1}^2+c_{1}^2)t}c_{1}$

به ازای هر

$t$

که این عبارت صحیح بشه .

MBGO · 1391/10/14

پاسخ : x^3 + y^3 = x^2 + y^2

اینجا a نسبت x,y به همدیگره، مجموعه جواب هارو هم بر اساس اسن نسبت به دست آمده، اما این نسبت لزوما شامل هر عدد حقیقی نمیشه پس باید a رو نیز به صورت یه مجموعه جواب به دست آورد.

$5|3^{2}+1^{2}$

حالا هرکی · 1391/10/14

پاسخ : x^3 + y^3 = x^2 + y^2

MBGO گفت

اما ماهان نگا کن

$a^2+c^2\mid a^3+c^3$

ولی تو مثال نقضت اینطور نیس.انقدرام دیگه ما شوت نیستیم:204:

zz_torna2 · 1391/10/15

پاسخ : x^3 + y^3 = x^2 + y^2

MBGO گفت

اگه شما برین اون مجموعه جواب رو یعنی:

$(x,y)=(\frac{a^3+a}{a^3+1},\frac{a^2+1}{a^3+1})$

در سوال قرار بدین میبینید که برای هر عدد گویای a برقرار هستش.:3:

MBGO · 1391/10/15

پاسخ : x^3 + y^3 = x^2 + y^2

اما برقرار بودن این مجموعه جواب در صورت مساله لزوما اینو نمیرسونه که هر جواب معادله لزوما عضو چنین مجموعه ای هست.

zz_torna2 · 1391/10/16

پاسخ : x^3 + y^3 = x^2 + y^2

درسته ولی این موضوع اگر و فقط اگر هستش یعنی علاوه بر اون چیزی که گفتم اینم برقراره:اگر x,y وجود داشته باشند که در معدله صدق کنند اون وقت اون وقت عدد گویای a وجود دارد که:

$(x,y)=(\frac{a^3+a}{a^3+1},\frac{a^2+1}{a^3+1})$

چون کافیه a رو x/y بگیریم.

x^3 + y^3 = x^2 + y^2

MBGO

New Member

zz_torna2

New Member

zz_torna2

New Member

sahadian

New Member

حالا هرکی

New Member

zz_torna2

New Member

حالا هرکی

New Member

MBGO

New Member

حالا هرکی

New Member

zz_torna2

New Member

MBGO

New Member

zz_torna2

New Member