سیگمای n به 3 به توان n

mohy1376 · 1392/5/28

سلام .

یکی توضیح میده چرا این

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n}{3^n}=\frac{3}{4}$

برابر با 3/4 هست؟

و همینطور این

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n^2}{3n}=\frac{3}{2}$

و همینطور این:

mehran88 · 1392/5/28

پاسخ : سیگمای n به 3 به توان n

سلام.

اولی

$\sum_{i=1}^{\infty }\frac{i}{3^{i}}=\frac{1}{3}+\frac{2}{3^{2}}+\frac{3}{3^{3}}+...$

$3\times \sum_{i=1}^{\infty }\frac{i}{3^{i}}=1+\frac{2}{3^{1}}+\frac{3}{3^{2}}+...$

حالا اولی رو از دومی کم می کنیم

$2\times \sum_{i=1}^{\infty }\frac{i}{3^{i}}=1+\frac{1}{3^{1}}+\frac{1}{3^{2}}+...$

mohy1376 · 1392/5/29

پاسخ : سیگمای n به 3 به توان n

mehran88 گفت

خیلی ممنون .ولی عکس شماره 4 نیافتاده.
لطفا دومی و سومی را هم بگید.

orion · 1392/5/29

پاسخ : سیگمای n به 3 به توان n

آخري:

$\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(-4)^n+2^n+3^{n+1}}{2^{3n}}=3+\sum_{n=1}^{\infty}[(-\frac{1}{2})^n+(\frac{1}{4})^n+3\times (\frac{3}{8})^n]$

حالا هر كدوم جملات داخل سيگما يه سري هندسي ميشن.اگه مشكلي بود بگيد:1:

mehran88 · 1392/5/29

پاسخ : سیگمای n به 3 به توان n

mohy1376 گفت

سمت راست سومین عکس یه سری هندسی سادست که میشه 1.5 .حالا طرفین رو یه تقسیم بر دو هم می کنیم میشه 0.75

mrbayat · 1392/6/2

پاسخ : سیگمای n به 3 به توان n

منظورتون از دومي احتمالا اين بوده :

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n^2}{3^n}=\frac{3}{2}$

براي حل ، توجه كنيد كه داريم:

$\left | x \right |< 1 \Rightarrow \frac{1}{1-x}=1+x+x^2+...=\sum_{n=0}^{\infty }x^n$

از دو طرف اين عبارت ميشه به صورت عادي مشتق گرفت. از دو طرف مشتق مي گيريم و دو طرف را در x ضرب مي كنيم و اين كار را يك بار ديگر هم انجام مي دهيم:

$\Rightarrow ( \frac{1}{1-x})'=\frac{1}{(1-x)^2}=0+1+2x+3x^2+...=\sum_{n=1}^{\infty }nx^{n-1}$

$\Rightarrow \frac{x}{(1-x)^2}=x+2x^2+3x^3+...=\sum_{n=1}^{\infty }nx^{n}$

$\Rightarrow x(\frac{x}{(1-x)^2})'=x+2^2x^2+3^2x^3+...=\sum_{n=1}^{\infty }n^2x^{n}$

حال در عبارت بالا قرار مي دهيم x=1/3 :

$\left.\begin{matrix} x=\frac{1}{3}\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty }n^2x^n=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n^2}{3^n}=x(\frac{x}{(1-x)^2})' \end{matrix}\right|_{x=\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}$

سیگمای n به 3 به توان n

mohy1376

Well-Known Member

mehran88

New Member

mohy1376

Well-Known Member

orion

Well-Known Member

mehran88

New Member

mrbayat

New Member